次の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to 1} x^{\frac{1}{x-1}}$

1. 問題の内容

次の極限を求める問題です。

$\lim_{x \to 1} x^{\frac{1}{x-1}}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた極限を $y$ と置きます。

$y = \lim_{x \to 1} x^{\frac{1}{x-1}}$

両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln (\lim_{x \to 1} x^{\frac{1}{x-1}})$

対数関数は連続なので、極限の中に入れることができます。

$\ln y = \lim_{x \to 1} \ln (x^{\frac{1}{x-1}})$

対数の性質より、

$\ln y = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x-1} \ln x$

$\ln y = \lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1}$

$x \to 1$ のとき、$\ln x \to 0$ かつ $x-1 \to 0$ なので、$\frac{0}{0}$ の不定形です。ロピタルの定理を使うことができます。

$\ln y = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx} \ln x}{\frac{d}{dx} (x-1)}$

$\ln y = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1}$

$\ln y = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x}$

$\ln y = \frac{1}{1} = 1$

$\ln y = 1$

両辺の指数関数をとると、

$e^{\ln y} = e^1$

$y = e$

3. 最終的な答え

$e$