2変数関数 $h(x, y)$ の極値を求める問題です。具体的には、以下の3つの関数について考えます。 (1) $h(x, y) = 3x^2 - 5xy + 3y^2 - x - y$ (2) $h(x, y) = -x^2 + xy - y^2 + 4x - 2y$ (3) $h(x, y) = xy + x^{-1} + 8y^{-1}$

1. 問題の内容

2変数関数 $h(x, y)$ の極値を求める問題です。具体的には、以下の3つの関数について考えます。

(1) $h(x, y) = 3x^2 - 5xy + 3y^2 - x - y$

(2) $h(x, y) = -x^2 + xy - y^2 + 4x - 2y$

(3) $h(x, y) = xy + x^{-1} + 8y^{-1}$

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で極値を求めます。

(1) 偏導関数 $h_x$ と $h_y$ を計算します。

(2) 連立方程式 $h_x = 0$ かつ $h_y = 0$ を解き、停留点（臨界点）を求めます。

(3) 2階偏導関数 $h_{xx}$, $h_{yy}$, $h_{xy}$ を計算します。

(4) ヘッセ行列式 $D = h_{xx}h_{yy} - h_{xy}^2$ を計算します。

(5) 各停留点において、$D$ の値と $h_{xx}$ の値を調べ、以下の判定を行います。

* $D > 0$ かつ $h_{xx} > 0$ ならば極小値

* $D > 0$ かつ $h_{xx} < 0$ ならば極大値

* $D < 0$ ならば鞍点

* $D = 0$ ならば判定不能

以下、各関数について具体的に計算を行います。

(1) $h(x, y) = 3x^2 - 5xy + 3y^2 - x - y$

* $h_x = 6x - 5y - 1$

* $h_y = -5x + 6y - 1$

$h_x = 0$ かつ $h_y = 0$ を解くと、

$6x - 5y = 1$

$-5x + 6y = 1$

これを解いて、$x = 1, y = 1$. 従って、停留点は $(1, 1)$.

* $h_{xx} = 6$

* $h_{yy} = 6$

* $h_{xy} = -5$

$D = h_{xx}h_{yy} - h_{xy}^2 = 6 \cdot 6 - (-5)^2 = 36 - 25 = 11$

停留点 $(1, 1)$ において、$D = 11 > 0$ かつ $h_{xx} = 6 > 0$ なので、極小値をとる。

$h(1, 1) = 3 - 5 + 3 - 1 - 1 = -1$

(2) $h(x, y) = -x^2 + xy - y^2 + 4x - 2y$

* $h_x = -2x + y + 4$

* $h_y = x - 2y - 2$

$h_x = 0$ かつ $h_y = 0$ を解くと、

$-2x + y = -4$

$x - 2y = 2$

これを解いて、$x = -2, y = -2$. 従って、停留点は $(-2, -2)$.

* $h_{xx} = -2$

* $h_{yy} = -2$

* $h_{xy} = 1$

$D = h_{xx}h_{yy} - h_{xy}^2 = (-2) \cdot (-2) - (1)^2 = 4 - 1 = 3$

停留点 $(-2, -2)$ において、$D = 3 > 0$ かつ $h_{xx} = -2 < 0$ なので、極大値をとる。

$h(-2, -2) = -4 + 4 - 4 - 8 + 4 = -8$

(3) $h(x, y) = xy + x^{-1} + 8y^{-1}$

* $h_x = y - x^{-2}$

* $h_y = x - 8y^{-2}$

$h_x = 0$ かつ $h_y = 0$ を解くと、

$y = x^{-2}$

$x = 8y^{-2}$

これを解いて、$x = 4, y = 1/16$. 従って、停留点は $(4, 1/16)$.

* $h_{xx} = 2x^{-3}$

* $h_{yy} = 16y^{-3}$

* $h_{xy} = 1$

$D = h_{xx}h_{yy} - h_{xy}^2 = (2x^{-3})(16y^{-3}) - 1^2 = 32x^{-3}y^{-3} - 1$

停留点 $(4, 1/16)$ において、

$D = 32(4^{-3})(16^3) - 1 = 32(1/64)(4096) - 1 = 2048 - 1 = 2047 > 0$

$h_{xx} = 2(4^{-3}) = 2(1/64) = 1/32 > 0$

$D > 0$ かつ $h_{xx} > 0$ なので極小値をとる。

$h(4, 1/16) = 4(1/16) + 1/4 + 8(16) = 1/4 + 1/4 + 128 = 1/2 + 128 = 257/2 = 128.5$

3. 最終的な答え

(1) 関数 $h(x, y) = 3x^2 - 5xy + 3y^2 - x - y$ は、点 $(1, 1)$ で極小値 $-1$ をとる。

(2) 関数 $h(x, y) = -x^2 + xy - y^2 + 4x - 2y$ は、点 $(-2, -2)$ で極大値 $-8$ をとる。

(3) 関数 $h(x, y) = xy + x^{-1} + 8y^{-1}$ は、点 $(4, 1/16)$ で極小値 $128.5$ をとる。