$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$, $\sin \alpha = \frac{\sqrt{15}}{5}$, $\sin \beta = \frac{\sqrt{10}}{5}$ のとき、$\cos \alpha$, $\cos 2\alpha$, $\cos(\beta - \alpha)$, $\cos(12\alpha - 8\beta)$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$, $\sin \alpha = \frac{\sqrt{15}}{5}$, $\sin \beta = \frac{\sqrt{10}}{5}$ のとき、$\cos \alpha$, $\cos 2\alpha$, $\cos(\beta - \alpha)$, $\cos(12\alpha - 8\beta)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\cos \alpha$ を求める。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ より、

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left( \frac{\sqrt{15}}{5} \right)^2 = 1 - \frac{15}{25} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より、$\cos \alpha > 0$ であるから、

$\cos \alpha = \sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$

次に、$\cos 2\alpha$ を求める。

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \frac{2}{5} - \frac{3}{5} = -\frac{1}{5}$

次に、$\cos \beta$ を求める。

$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$ より、

$\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta = 1 - \left( \frac{\sqrt{10}}{5} \right)^2 = 1 - \frac{10}{25} = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$

$\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ より、$\cos \beta < 0$ であるから、

$\cos \beta = -\sqrt{\frac{3}{5}} = -\frac{\sqrt{15}}{5}$

次に、$\cos(\beta - \alpha)$ を求める。

$\cos(\beta - \alpha) = \cos \beta \cos \alpha + \sin \beta \sin \alpha = \left( -\frac{\sqrt{15}}{5} \right) \left( \frac{\sqrt{10}}{5} \right) + \left( \frac{\sqrt{10}}{5} \right) \left( \frac{\sqrt{15}}{5} \right) = -\frac{\sqrt{150}}{25} + \frac{\sqrt{150}}{25} = 0$

最後に、$\cos(12\alpha - 8\beta)$ を求める。

$\cos(12\alpha - 8\beta) = \cos(4(3\alpha - 2\beta))$

$\cos(12\alpha - 8\beta) = \cos(4\alpha - 4\beta) = \cos(4(\alpha - \beta))$

ここで、$\cos(4(\alpha - \beta)) = \cos(4(\alpha - \beta))$ を計算するために、$\alpha$ と $\beta$ の具体的な値を求めることは難しい。

$\cos(12\alpha - 8\beta) = \cos(12\alpha)\cos(8\beta) + \sin(12\alpha)\sin(8\beta)$

$\cos(12\alpha - 8\beta) = \cos(4(3\alpha - 2\beta))$ であり、

$3\alpha - 2\beta$ が特定の角度になるかどうかを調べる。

$\sin \alpha = \frac{\sqrt{15}}{5}$, $\cos \alpha = \frac{\sqrt{10}}{5}$ なので、$\tan \alpha = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

$\sin \beta = \frac{\sqrt{10}}{5}$, $\cos \beta = -\frac{\sqrt{15}}{5}$ なので、$\tan \beta = -\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{15}} = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

$\cos(\beta - \alpha) = 0$ より、$\beta - \alpha = \frac{\pi}{2}$ となるので、$\beta = \alpha + \frac{\pi}{2}$

$\cos(12\alpha - 8\beta) = \cos(12\alpha - 8(\alpha + \frac{\pi}{2})) = \cos(12\alpha - 8\alpha - 4\pi) = \cos(4\alpha - 4\pi) = \cos(4\alpha) = 2\cos^2(2\alpha) - 1 = 2\left( -\frac{1}{5} \right)^2 - 1 = 2\left( \frac{1}{25} \right) - 1 = \frac{2}{25} - 1 = -\frac{23}{25}$

3. 最終的な答え

$\cos \alpha = \frac{\sqrt{10}}{5}$

$\cos 2\alpha = -\frac{1}{5}$

$\cos(\beta - \alpha) = 0$

$\cos(12\alpha - 8\beta) = -\frac{23}{25}$