2次関数 $f(x) = x^2 + ax + b$ が条件 $f(1) = 1$、$f'(1) = 0$ を満たす。また、方程式 $x^2 - 2x + y^2 - 2y = 0$ が表す円を C とする。 (1) $a, b$ の値を求めよ。 (2) $y = f(x)$ のグラフと曲線 C で囲まれる部分の面積のうち、放物線の下側にある部分の面積 S を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 + ax + b$ が条件 $f(1) = 1$、$f'(1) = 0$ を満たす。また、方程式 $x^2 - 2x + y^2 - 2y = 0$ が表す円を C とする。

(1) $a, b$ の値を求めよ。

(2) $y = f(x)$ のグラフと曲線 C で囲まれる部分の面積のうち、放物線の下側にある部分の面積 S を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a, b$ の値を求める。

* $f(1) = 1$ より、

$1^2 + a(1) + b = 1$

$1 + a + b = 1$

$a + b = 0$ ...(1)

* $f'(x) = 2x + a$ であり、$f'(1) = 0$ より、

$2(1) + a = 0$

$2 + a = 0$

$a = -2$

* (1) に代入して、

$-2 + b = 0$

$b = 2$

(2) 面積 S を求める。

* 円 C の方程式を変形する。

$x^2 - 2x + y^2 - 2y = 0$

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = 1 + 1$

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2$

これは、中心 $(1, 1)$、半径 $\sqrt{2}$ の円である。

* $f(x) = x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1$ であり、これは頂点 $(1, 1)$ の放物線である。

* 円の中心が放物線の頂点であることに注意して、円の方程式から $y$ を求めると、$y = 1 \pm \sqrt{2 - (x - 1)^2}$。

$y = f(x)$ との交点を求める。

$(x - 1)^2 + 1 = 1 - \sqrt{2 - (x - 1)^2}$

$(x - 1)^2 = - \sqrt{2 - (x - 1)^2}$.

2乗して整理しても良いが、左辺が正で右辺が負になるので、これはありえない。

$(x - 1)^2 + 1 = 1 + \sqrt{2 - (x - 1)^2}$

$(x - 1)^2 = \sqrt{2 - (x - 1)^2}$

$(x - 1)^4 = 2 - (x - 1)^2$

$t = (x - 1)^2$ とおくと、

$t^2 + t - 2 = 0$

$(t + 2)(t - 1) = 0$

$t = -2, 1$

$t = (x-1)^2$ であるから、$(x - 1)^2 = 1$

$x - 1 = \pm 1$

$x = 0, 2$

* 求める面積 S は、

$S = \int_0^2 (x^2 - 2x + 2 - (1 - \sqrt{2 - (x - 1)^2})) dx$

$S = \int_0^2 (x^2 - 2x + 1 + \sqrt{2 - (x - 1)^2}) dx$

$S = \int_0^2 (x - 1)^2 dx + \int_0^2 \sqrt{2 - (x - 1)^2} dx$

ここで、$\int_0^2 (x - 1)^2 dx = [\frac{1}{3} (x - 1)^3]_0^2 = \frac{1}{3} (1 - (-1)) = \frac{2}{3}$。

$\int_0^2 \sqrt{2 - (x - 1)^2} dx$ は半径 $\sqrt{2}$ の円の上半分を表す。

したがって面積は $\pi (\sqrt{2})^2 / 2 = \pi$

$S = \frac{2}{3} + \pi$

3. 最終的な答え

(1) $a = -2$, $b = 2$

(2) $S = \frac{2}{3} + \pi$