(1) 1から5までの5つの数字をすべて使って5桁の整数を作るとき、偶数は全部で何個できるか。 (2) 1から7までの7つの数字から異なる3つの数字を取り出して並べ、3桁の整数を作るとき、200から500の間の整数は全部で何個できるか。 (3) 7人を4人、2人、1人の3組に分ける方法は、全部で何通りあるか。 (4) 男子3人、女子2人が一列に並ぶとき、女子が両端にくる並び方は、全部で何通りあるか。 (5) 1, 2, 3, 4, 5, 6の6つの数字を一列に並べるとき、1の両隣りが2と3になるような並べ方は、全部で何通りあるか。 (6) 5つの文字a, b, c, d, eを一列に並べるとき、aとbが隣り合わない並べ方は、全部で何通りあるか。

1. 問題の内容

(1) 1から5までの5つの数字をすべて使って5桁の整数を作るとき、偶数は全部で何個できるか。

(2) 1から7までの7つの数字から異なる3つの数字を取り出して並べ、3桁の整数を作るとき、200から500の間の整数は全部で何個できるか。

(3) 7人を4人、2人、1人の3組に分ける方法は、全部で何通りあるか。

(4) 男子3人、女子2人が一列に並ぶとき、女子が両端にくる並び方は、全部で何通りあるか。

(5) 1, 2, 3, 4, 5, 6の6つの数字を一列に並べるとき、1の両隣りが2と3になるような並べ方は、全部で何通りあるか。

(6) 5つの文字a, b, c, d, eを一列に並べるとき、aとbが隣り合わない並べ方は、全部で何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 5桁の整数が偶数になるためには、一の位が偶数である必要があります。1から5までの数字の中で偶数は2と4の2つです。

一の位が2の場合、残りの4つの数字(1,3,4,5)の並べ方は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通りです。

一の位が4の場合、残りの4つの数字(1,2,3,5)の並べ方は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通りです。

したがって、偶数の個数は $24 + 24 = 48$ 個です。

(2) 3桁の整数が200から500の間であるためには、百の位が2,3,4のいずれかである必要があります。

百の位が2の場合、十の位と一の位には残りの6つの数字から2つを選んで並べる必要があります。これは $6P2 = 6 \times 5 = 30$ 通りです。

百の位が3の場合、十の位と一の位には残りの6つの数字から2つを選んで並べる必要があります。これは $6P2 = 6 \times 5 = 30$ 通りです。

百の位が4の場合、十の位と一の位には残りの6つの数字から2つを選んで並べる必要があります。これは $6P2 = 6 \times 5 = 30$ 通りです。

したがって、200から500の間の整数の個数は $30 + 30 + 30 = 90$ 個です。

(3) 7人を4人、2人、1人の3組に分ける方法は、まず7人から4人を選び、残りの3人から2人を選び、最後に残った1人を選びます。

これは $7C4 \times 3C2 \times 1C1 = \frac{7!}{4!3!} \times \frac{3!}{2!1!} \times \frac{1!}{1!0!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{3}{1} \times 1 = 35 \times 3 \times 1 = 105$ 通りです。

(4) 女子2人が両端に並ぶ方法は、$2! = 2 \times 1 = 2$ 通りです。

残りの3人の男子は真ん中に並ぶので、$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通りです。

したがって、女子が両端にくる並び方は $2 \times 6 = 12$ 通りです。

(5) 1の両隣が2と3になる並び方は、2と3の並び順を考慮すると、213または312の2通りがあります。

213を一つのまとまりとして考えると、残りの数字は4, 5, 6の3つなので、213と4, 5, 6の並べ方は4!通りです。同様に312を一つのまとまりとして考えると、312と4, 5, 6の並べ方は4!通りです。

したがって、求める並べ方は $2 \times 4! = 2 \times (4 \times 3 \times 2 \times 1) = 2 \times 24 = 48$ 通りです。

(6) 5つの文字a, b, c, d, eを一列に並べる方法は全部で $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通りです。

aとbが隣り合う並べ方は、aとbを一つのまとまりと考えると、その並び順はabとbaの2通りあります。

aとbのまとまりと、c, d, eの4つのものを並べる方法は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通りです。

したがって、aとbが隣り合う並べ方は $2 \times 24 = 48$ 通りです。

aとbが隣り合わない並べ方は、全体の並べ方からaとbが隣り合う並べ方を引けばよいので、$120 - 48 = 72$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 48

(2) 90

(3) 105

(4) 12

(5) 48

(6) 72