全体からどちらも趣味でない生徒数を引く。 $100 - 18 = 82$人

## 問題11の解答

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1. 問題の内容

(1) 生徒100人について、読書が趣味の生徒が37人、映画鑑賞が趣味の生徒が64人、どちらも趣味でない生徒が18人である。読書は趣味だが、映画鑑賞は趣味でない生徒の人数を求める。

(2) 5個の数字0, 1, 2, 3, 4を重複なく使ってできる5桁の数を小さい方から順に並べる。初めて20000以上になるのは何番目か。

(3) 5個の数字0, 1, 2, 3, 4を重複なく使ってできる5桁の数を小さい方から順に並べる。50番目の数を求めよ。

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2. 解き方の手順

(1)

1. まず、読書か映画鑑賞の少なくともどちらかが趣味の生徒数を求める。

全体からどちらも趣味でない生徒数を引く。

$100 - 18 = 82$人

2. 読書と映画鑑賞の少なくともどちらかが趣味の生徒数は、読書が趣味の生徒数と映画鑑賞が趣味の生徒数を足し、両方とも趣味の生徒数を引いたものである。両方とも趣味の生徒数を$x$とする。

$37 + 64 - x = 82$

3. 上記の式から$x$を求める。

$x = 37 + 64 - 82 = 19$人

4. 読書は趣味だが、映画鑑賞は趣味でない生徒数は、読書が趣味の生徒数から両方とも趣味の生徒数を引いたものである。

$37 - 19 = 18$人

(2)

1. 5桁の数を小さい順に並べるので、まず10000の位が0でないことに注意する。

2. 10000の位が1である数は、残りの4桁に0, 2, 3, 4を並べる順列なので、$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$個存在する。

3. 初めて20000以上になるのは、10000の位が2の場合からである。

4. したがって、20000以上になるのは25番目である。

(3)

1. 5桁の数を小さい順に並べる。

2. 10000の位が0でないことに注意する。

3. 10000の位が1である数は、残りの4桁に0, 2, 3, 4を並べる順列なので、$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$個存在する。

4. 10000の位が2である数も同様に、$4! = 24$個存在する。

5. したがって、10000の位が1と2である数の合計は$24 + 24 = 48$個である。

6. 50番目の数は、10000の位が3である数の中で2番目に小さい数である。

7. 10000の位が3で、1000の位が0である数は、残りの3桁に1, 2, 4を並べる順列なので、$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$個存在する。

8. 10000の位が3で、1000の位が0である数のうち、最小のものは30124である。（49番目）

9. したがって、50番目の数は30142である。

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3. 最終的な答え

(1) 18人

(2) 25番目

(3) 30142