以下の4つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 7n - 11}{(2 - 5n)^2}$ (2) $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{n})^{3n}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{e^{2x} - 1}$ (4) $\lim_{x \to \infty} x^2 (\log x - \log \sqrt{x^2 + 3})$

1. 問題の内容

以下の4つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 7n - 11}{(2 - 5n)^2}$

(2) $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{n})^{3n}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{e^{2x} - 1}$

(4) $\lim_{x \to \infty} x^2 (\log x - \log \sqrt{x^2 + 3})$

2. 解き方の手順

(1) 分母を展開し、$n^2$ で割る：

$\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 7n - 11}{(2 - 5n)^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 7n - 11}{4 - 20n + 25n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{7}{n} - \frac{11}{n^2}}{\frac{4}{n^2} - \frac{20}{n} + 25}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \to 0$ より、

$\lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{7}{n} - \frac{11}{n^2}}{\frac{4}{n^2} - \frac{20}{n} + 25} = \frac{2}{25}$

(2) 指数関数の極限の公式 $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{a}{n})^n = e^a$ を利用する：

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{n})^{3n} = \lim_{n \to \infty} ((1 + \frac{2}{n})^n)^3 = (e^2)^3 = e^6$

(3) ロピタルの定理を使う：

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{e^{2x} - 1}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を適用する。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{e^{2x} - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(e^x - 1)}{\frac{d}{dx}(e^{2x} - 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2e^{2x}} = \frac{e^0}{2e^0} = \frac{1}{2}$

(4) 対数の性質を利用する：

$\lim_{x \to \infty} x^2 (\log x - \log \sqrt{x^2 + 3}) = \lim_{x \to \infty} x^2 \log \frac{x}{\sqrt{x^2 + 3}} = \lim_{x \to \infty} x^2 \log \frac{x}{\sqrt{x^2(1 + \frac{3}{x^2})}} = \lim_{x \to \infty} x^2 \log \frac{x}{x\sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}}$

$= \lim_{x \to \infty} x^2 \log (1 + \frac{3}{x^2})^{-\frac{1}{2}} = \lim_{x \to \infty} -\frac{1}{2} x^2 \log (1 + \frac{3}{x^2})$

$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t} = 1$ を利用する。$t = \frac{3}{x^2}$ とおくと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$。

$\lim_{x \to \infty} -\frac{1}{2} x^2 \log (1 + \frac{3}{x^2}) = \lim_{x \to \infty} -\frac{1}{2} x^2 \cdot \frac{3}{x^2} \cdot \frac{\log(1 + \frac{3}{x^2})}{\frac{3}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} -\frac{3}{2} \frac{\log(1 + \frac{3}{x^2})}{\frac{3}{x^2}}$

$= -\frac{3}{2} \lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t} = -\frac{3}{2} \cdot 1 = -\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{25}$

(2) $e^6$

(3) $\frac{1}{2}$

(4) $-\frac{3}{2}$