$\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{15}+\sqrt{3}}$ の分母を有理化する問題です。

1. 問題の内容

$\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{15}+\sqrt{3}}$ の分母を有理化する問題です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な複素数 $\sqrt{15}-\sqrt{3}$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{15}+\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{15}-\sqrt{3})}{(\sqrt{15}+\sqrt{3})(\sqrt{15}-\sqrt{3})}$

分母を計算します： $(\sqrt{15}+\sqrt{3})(\sqrt{15}-\sqrt{3}) = (\sqrt{15})^2 - (\sqrt{3})^2 = 15 - 3 = 12$

分子を計算します： $(\sqrt{5}-1)(\sqrt{15}-\sqrt{3}) = \sqrt{5}\sqrt{15} - \sqrt{5}\sqrt{3} - \sqrt{15} + \sqrt{3} = \sqrt{75} - \sqrt{15} - \sqrt{15} + \sqrt{3} = \sqrt{25 \times 3} - 2\sqrt{15} + \sqrt{3} = 5\sqrt{3} - 2\sqrt{15} + \sqrt{3} = 6\sqrt{3} - 2\sqrt{15}$

したがって、

$\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{15}+\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3} - 2\sqrt{15}}{12} = \frac{2(3\sqrt{3} - \sqrt{15})}{12} = \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{15}}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{3\sqrt{3} - \sqrt{15}}{6}$