2次関数 $y = x^2 + 4x + 1$ のグラフを、x軸、y軸、原点に関してそれぞれ対称移動させた放物線の方程式を求める問題です。

代数学二次関数グラフ対称移動
2025/7/28

1. 問題の内容

2次関数 y=x2+4x+1y = x^2 + 4x + 1 のグラフを、x軸、y軸、原点に関してそれぞれ対称移動させた放物線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。
y=x2+4x+1y = x^2 + 4x + 1
y=(x2+4x+4)4+1y = (x^2 + 4x + 4) - 4 + 1
y=(x+2)23y = (x + 2)^2 - 3
(1) x軸に関して対称移動する場合
yyy-y に置き換えます。
y=(x+2)23-y = (x + 2)^2 - 3
y=(x+2)2+3y = -(x + 2)^2 + 3
y=(x2+4x+4)+3y = -(x^2 + 4x + 4) + 3
y=x24x4+3y = -x^2 - 4x - 4 + 3
y=x24x1y = -x^2 - 4x - 1
(2) y軸に関して対称移動する場合
xxx-x に置き換えます。
y=(x+2)23y = (-x + 2)^2 - 3
y=((x2))23y = (-(x-2))^2 - 3
y=(x2)23y = (x - 2)^2 - 3
y=x24x+43y = x^2 - 4x + 4 - 3
y=x24x+1y = x^2 - 4x + 1
(3) 原点に関して対称移動する場合
xxx-x に、yyy-y に置き換えます。
y=(x+2)23-y = (-x + 2)^2 - 3
y=(x2)23-y = (x - 2)^2 - 3
y=(x2)2+3y = -(x - 2)^2 + 3
y=(x24x+4)+3y = -(x^2 - 4x + 4) + 3
y=x2+4x4+3y = -x^2 + 4x - 4 + 3
y=x2+4x1y = -x^2 + 4x - 1

3. 最終的な答え

x軸に関して対称移動: y=x24x1y = -x^2 - 4x - 1
y軸に関して対称移動: y=x24x+1y = x^2 - 4x + 1
原点に関して対称移動: y=x2+4x1y = -x^2 + 4x - 1

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