問題1は、与えられた2次式に数を加えて、$(x+p)^2$または$(x-p)^2$の形にする問題です。 問題2は、与えられた2次方程式を解く問題です。

代数学二次方程式平方完成解の公式
2025/7/28

1. 問題の内容

問題1は、与えられた2次式に数を加えて、(x+p)2(x+p)^2または(xp)2(x-p)^2の形にする問題です。
問題2は、与えられた2次方程式を解く問題です。

2. 解き方の手順

問題1:
(3) x2+5x+=(x+)2x^2 + 5x + \Box = (x + \Box)^2
x2+5x+(52)2=(x+52)2x^2 + 5x + (\frac{5}{2})^2 = (x + \frac{5}{2})^2
よって、\Box には 254\frac{25}{4} および 52\frac{5}{2} が入ります。
(4) x28x+=(x)2x^2 - 8x + \Box = (x - \Box)^2
x28x+(82)2=(x4)2x^2 - 8x + (\frac{-8}{2})^2 = (x - 4)^2
x28x+16=(x4)2x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2
よって、\Box には 1616 および 44 が入ります。
問題2:
(1) x26x+3=0x^2 - 6x + 3 = 0
(x3)29+3=0(x - 3)^2 - 9 + 3 = 0
(x3)2=6(x - 3)^2 = 6
x3=±6x - 3 = \pm\sqrt{6}
x=3±6x = 3 \pm \sqrt{6}
(2) x2+2x2=0x^2 + 2x - 2 = 0
(x+1)212=0(x + 1)^2 - 1 - 2 = 0
(x+1)2=3(x + 1)^2 = 3
x+1=±3x + 1 = \pm\sqrt{3}
x=1±3x = -1 \pm \sqrt{3}
(3) x210x+24=0x^2 - 10x + 24 = 0
(x6)(x4)=0(x - 6)(x - 4) = 0
x=6,4x = 6, 4
(4) x24x7=0x^2 - 4x - 7 = 0
(x2)247=0(x - 2)^2 - 4 - 7 = 0
(x2)2=11(x - 2)^2 = 11
x2=±11x - 2 = \pm\sqrt{11}
x=2±11x = 2 \pm \sqrt{11}
(5) x23x=1x^2 - 3x = 1
x23x1=0x^2 - 3x - 1 = 0
(x32)2941=0(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} - 1 = 0
(x32)2=134(x - \frac{3}{2})^2 = \frac{13}{4}
x32=±132x - \frac{3}{2} = \pm\frac{\sqrt{13}}{2}
x=3±132x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}

3. 最終的な答え

問題1:
(3) ア: 254\frac{25}{4}
(4) ア: 1616
問題2:
(1) x=3±6x = 3 \pm \sqrt{6}
(2) x=1±3x = -1 \pm \sqrt{3}
(3) x=6,4x = 6, 4
(4) x=2±11x = 2 \pm \sqrt{11}
(5) x=3±132x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}

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