実数 $a$ を定数とするとき、関数 $y = 2x^2 - 4ax + 2a^2$ ($0 \le x \le 1$) の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $a$ を定数とするとき、関数 $y = 2x^2 - 4ax + 2a^2$ ($0 \le x \le 1$) の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = 2x^2 - 4ax + 2a^2 = 2(x^2 - 2ax) + 2a^2 = 2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 2a^2 = 2(x - a)^2 - 2a^2 + 2a^2 = 2(x - a)^2$

したがって、$y = 2(x - a)^2$ となります。

この関数は下に凸の放物線で、軸は $x = a$ です。定義域は $0 \le x \le 1$ です。

最小値は、軸の位置によって場合分けして考えます。

(1) $a < 0$ のとき、定義域内で関数は単調増加するので、$x = 0$ で最小値をとります。

$x = 0$ のとき $y = 2(0 - a)^2 = 2a^2$

(2) $0 \le a \le 1$ のとき、軸が定義域内にあるので、$x = a$ で最小値をとります。

$x = a$ のとき $y = 2(a - a)^2 = 0$

(3) $a > 1$ のとき、定義域内で関数は単調減少するので、$x = 1$ で最小値をとります。

$x = 1$ のとき $y = 2(1 - a)^2 = 2(a - 1)^2$

まとめると、

$a < 0$ のとき、最小値は $2a^2$

$0 \le a \le 1$ のとき、最小値は $0$

$a > 1$ のとき、最小値は $2(a - 1)^2$

3. 最終的な答え

$a < 0$ のとき、最小値は $2a^2$

$0 \le a \le 1$ のとき、最小値は $0$

$a > 1$ のとき、最小値は $2(a - 1)^2$