定数 $a$ が与えられたとき、以下の2つの不等式を満たす整数 $x$ がちょうど2個となるような $a$ の値の範囲を求める。 $5(x-4) < 2(x+1) - 13$ $\frac{x-a}{2} \geq \frac{x+1}{3}$

1. 問題の内容

定数 $a$ が与えられたとき、以下の2つの不等式を満たす整数 $x$ がちょうど2個となるような $a$ の値の範囲を求める。

$5(x-4) < 2(x+1) - 13$

$\frac{x-a}{2} \geq \frac{x+1}{3}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式を解く。

1つ目の不等式:

$5(x-4) < 2(x+1) - 13$

$5x - 20 < 2x + 2 - 13$

$5x - 20 < 2x - 11$

$3x < 9$

$x < 3$

2つ目の不等式:

$\frac{x-a}{2} \geq \frac{x+1}{3}$

$3(x-a) \geq 2(x+1)$

$3x - 3a \geq 2x + 2$

$x \geq 3a + 2$

したがって、与えられた不等式を満たす $x$ の範囲は $3a + 2 \leq x < 3$ となる。

この範囲に含まれる整数がちょうど2個となるのは、$x = 1, 2$ の場合である。

したがって、$3a+2 \leq 1$ かつ $3a+2 > 0$ となる必要がある。

$3a + 2 \leq 1$ を解くと:

$3a \leq -1$

$a \leq -\frac{1}{3}$

$3a + 2 > 0$ を解くと:

$3a > -2$

$a > -\frac{2}{3}$

$3a + 2$ が0にならない場合、$x=0, 1, 2$の３つの整数を含む場合、$3a+2 \leq 0$となり、$a \leq -\frac{2}{3}$なので、これは題意を満たさない。

また、$x=2$だけが含まれる場合、$3a+2 \geq 2$かつ$3a+2 < 3$となり、$a \geq 0$かつ$a < \frac{1}{3}$となるので、これも題意を満たさない。

したがって、２つの整数解をもつためには、$3a + 2 \leq 1$ かつ $3a + 2 > -1$が必要。

$3a + 2 > -1$を解くと、$3a > -3$より、$a > -1$

よって、$-1 < a \leq -\frac{1}{3}$

ただし、$a=-\frac{1}{3}$のとき、$x \geq 3(-\frac{1}{3}) + 2 = -1 + 2 = 1$より、$1 \leq x < 3$となるため、$x=1,2$で2つの整数解を持つ。

$a=-1$のとき、$x \geq 3(-1) + 2 = -3 + 2 = -1$より、$-1 \leq x < 3$となるため、$x=-1,0,1,2$となり、４つの整数解を持つので、$a>-1$。

$3a + 2 > 0$が必要だったため、$a > -\frac{2}{3}$

$3a + 2 > -1$が必要だったため、$a > -1$

よって、$a > -\frac{2}{3}$

整数解が$x=1,2$になるので、$3a+2 \leq 1$かつ$3a+2 > -1$となる必要がある。

これは、$a \leq -\frac{1}{3}$かつ$a > -1$となる。

$-\frac{1}{3}$の時、$x \geq 1$、$x=1,2$の２つ。

$-1$の時、$x \geq -1$、$x=-1,0,1,2$の４つ。

整数解が2個となるのは、$3a+2 \leq 1$かつ$3a+2 > -1$となる時なので、$-1 < a \leq -\frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$-1 < a \leq -\frac{1}{3}$