2次関数 $y = x^2 + (k-2)x - 2k + 4$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、定数 $k$ の値を求め、そのときの接点の座標を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + (k-2)x - 2k + 4$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、定数 $k$ の値を求め、そのときの接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

グラフが $x$ 軸と接するということは、2次方程式 $x^2 + (k-2)x - 2k + 4 = 0$ が重解を持つということです。

したがって、この2次方程式の判別式 $D$ が $D=0$ となる条件から $k$ の値を求めます。

判別式は、

$D = (k-2)^2 - 4(1)(-2k+4)$

$D = k^2 - 4k + 4 + 8k - 16$

$D = k^2 + 4k - 12$

$D=0$ となるのは、

$k^2 + 4k - 12 = 0$

$(k+6)(k-2) = 0$

よって、$k = -6, 2$

(1) $k = -6$ のとき、2次方程式は $x^2 + (-6-2)x - 2(-6) + 4 = 0$ となり、

$x^2 - 8x + 16 = 0$

$(x-4)^2 = 0$

$x = 4$

このとき、接点の座標は $(4, 0)$ です。

(2) $k = 2$ のとき、2次方程式は $x^2 + (2-2)x - 2(2) + 4 = 0$ となり、

$x^2 + 0x + 0 = 0$

$x^2 = 0$

$x = 0$

このとき、接点の座標は $(0, 0)$ です。

3. 最終的な答え

$k = -6$ のとき、接点の座標は $(4, 0)$

$k = 2$ のとき、接点の座標は $(0, 0)$