連続関数 $f(x)$ が与えられたとき、次の関数の微分を $f$ を用いて表す問題です。 (1) $\frac{d}{dx} \int_{-x}^{x+1} f(2t) \, dt$ (2) $\frac{d}{dx} \int_{x}^{2x} t f(t^2) \, dt$

1. 問題の内容

連続関数 $f(x)$ が与えられたとき、次の関数の微分を $f$ を用いて表す問題です。

(1) $\frac{d}{dx} \int_{-x}^{x+1} f(2t) \, dt$

(2) $\frac{d}{dx} \int_{x}^{2x} t f(t^2) \, dt$

2. 解き方の手順

(1)

まず、積分を計算する前に、微分の順序を入れ替える必要があります。ライプニッツの積分法則を使用します。

$\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} g(x, t) \, dt = g(x, b(x)) \frac{db(x)}{dx} - g(x, a(x)) \frac{da(x)}{dx} + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial g(x, t)}{\partial x} \, dt$

この問題では $g(x, t) = f(2t)$ なので、$\frac{\partial g(x, t)}{\partial x} = 0$ となります。

したがって、

$\frac{d}{dx} \int_{-x}^{x+1} f(2t) \, dt = f(2(x+1)) \frac{d(x+1)}{dx} - f(2(-x)) \frac{d(-x)}{dx} = f(2x+2) \cdot 1 - f(-2x) \cdot (-1) = f(2x+2) + f(-2x)$

(2)

こちらも同様にライプニッツの積分法則を使用します。

$\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} g(x, t) \, dt = g(x, b(x)) \frac{db(x)}{dx} - g(x, a(x)) \frac{da(x)}{dx} + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial g(x, t)}{\partial x} \, dt$

この問題では $g(x, t) = t f(t^2)$ なので、$\frac{\partial g(x, t)}{\partial x} = 0$ となります。

したがって、

$\frac{d}{dx} \int_{x}^{2x} t f(t^2) \, dt = (2x) f((2x)^2) \frac{d(2x)}{dx} - (x) f(x^2) \frac{d(x)}{dx} = 2x f(4x^2) \cdot 2 - x f(x^2) \cdot 1 = 4x f(4x^2) - x f(x^2)$

3. 最終的な答え

(1) $f(2x+2) + f(-2x)$

(2) $4x f(4x^2) - x f(x^2)$