与えられた2つの極限を計算します。 (1) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6}$ (2) $\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 4x + 2}{8x^2 + 4x + 3}$

1. 問題の内容

与えられた2つの極限を計算します。

(1) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 4x + 2}{8x^2 + 4x + 3}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6}$ を計算します。

まず、分子と分母を因数分解します。

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

したがって、

$\frac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x - 3)}$

$x \neq 2$ のとき、$x - 2$ で約分できます。

$\frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x - 3)} = \frac{x + 2}{x - 3}$

したがって、

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6} = \lim_{x \to 2} \frac{x + 2}{x - 3}$

$x = 2$ を代入すると、

$\frac{2 + 2}{2 - 3} = \frac{4}{-1} = -4$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 4x + 2}{8x^2 + 4x + 3}$ を計算します。

分子と分母を $x^2$ で割ります。

$\frac{5x^2 + 4x + 2}{8x^2 + 4x + 3} = \frac{5 + \frac{4}{x} + \frac{2}{x^2}}{8 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{4}{x} \to 0$、$\frac{2}{x^2} \to 0$、$\frac{3}{x^2} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 4x + 2}{8x^2 + 4x + 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{4}{x} + \frac{2}{x^2}}{8 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}} = \frac{5 + 0 + 0}{8 + 0 + 0} = \frac{5}{8}$

3. 最終的な答え

(1) -4

(2) $\frac{5}{8}$