半径1の球の体積が $4\pi/3$ であることを、2重積分と3重積分を用いてそれぞれ証明する。ただし、半径1の球面は $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ を満たす点の集合で与えられる。

1. 問題の内容

半径1の球の体積が $4\pi/3$ であることを、2重積分と3重積分を用いてそれぞれ証明する。ただし、半径1の球面は $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ を満たす点の集合で与えられる。

2. 解き方の手順

(1) 2重積分による計算

球の上半分を $z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$ と表す。球の体積は、この上半分を $xy$ 平面に射影した円 $x^2 + y^2 \le 1$ 上で積分したものの2倍で与えられる。

$V = 2 \iint_{x^2+y^2 \le 1} \sqrt{1 - x^2 - y^2} \, dx \, dy$

極座標変換 $x = r \cos \theta, y = r \sin \theta$ を行うと、$dx \, dy = r \, dr \, d\theta$ であり、積分範囲は $0 \le r \le 1, 0 \le \theta \le 2\pi$ となる。

$V = 2 \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \sqrt{1 - r^2} \, r \, dr \, d\theta$

ここで、$u = 1 - r^2$ とおくと、$du = -2r \, dr$ より、$r \, dr = -\frac{1}{2} \, du$ であり、積分範囲は $1 \to 0$ となる。

$V = 2 \int_{0}^{2\pi} \int_{1}^{0} \sqrt{u} \, (-\frac{1}{2}) \, du \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} u^{1/2} \, du \, d\theta$

$V = \int_{0}^{2\pi} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_{0}^{1} \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \frac{2}{3} \, d\theta = \frac{2}{3} \left[ \theta \right]_{0}^{2\pi} = \frac{4\pi}{3}$

(2) 3重積分による計算

球の体積は、領域 $x^2 + y^2 + z^2 \le 1$ 上で 1 を積分することで得られる。

$V = \iiint_{x^2+y^2+z^2 \le 1} dx \, dy \, dz$

球座標変換 $x = r \sin \phi \cos \theta, y = r \sin \phi \sin \theta, z = r \cos \phi$ を行うと、$dx \, dy \, dz = r^2 \sin \phi \, dr \, d\phi \, d\theta$ であり、積分範囲は $0 \le r \le 1, 0 \le \phi \le \pi, 0 \le \theta \le 2\pi$ となる。

$V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} r^2 \sin \phi \, dr \, d\phi \, d\theta$

$V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \left[ \frac{1}{3} r^3 \right]_{0}^{1} \sin \phi \, d\phi \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{1}{3} \sin \phi \, d\phi \, d\theta$

$V = \frac{1}{3} \int_{0}^{2\pi} \left[ -\cos \phi \right]_{0}^{\pi} \, d\theta = \frac{1}{3} \int_{0}^{2\pi} (1 - (-1)) \, d\theta = \frac{2}{3} \int_{0}^{2\pi} d\theta$

$V = \frac{2}{3} \left[ \theta \right]_{0}^{2\pi} = \frac{4\pi}{3}$

3. 最終的な答え

半径1の球の体積は $4\pi/3$ である。