次の関数を微分する問題です。 (1) $f(x) = (10x - 5)^6$ (3) $f(x) = e^{x^2 + 1}$ (5) $f(x) = \sqrt[3]{x}$ ($x > 0$)

1. 問題の内容

次の関数を微分する問題です。

(1) $f(x) = (10x - 5)^6$

(3) $f(x) = e^{x^2 + 1}$

(5) $f(x) = \sqrt[3]{x}$ ($x > 0$)

2. 解き方の手順

(1) 合成関数の微分法を使います。$u = 10x - 5$ とおくと、$f(x) = u^6$ となります。

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ より、

$\frac{df}{du} = 6u^5$、$\frac{du}{dx} = 10$なので、

$\frac{df}{dx} = 6(10x - 5)^5 \cdot 10 = 60(10x - 5)^5$

(3) 合成関数の微分法を使います。$u = x^2 + 1$ とおくと、$f(x) = e^u$ となります。

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ より、

$\frac{df}{du} = e^u$、$\frac{du}{dx} = 2x$ なので、

$\frac{df}{dx} = e^{x^2 + 1} \cdot 2x = 2x e^{x^2 + 1}$

(5) $f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$ なので、べき関数の微分公式 $\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$ を使います。

$\frac{df}{dx} = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = 60(10x - 5)^5$

(3) $f'(x) = 2x e^{x^2 + 1}$

(5) $f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$