与えられた関数を微分する問題です。 (1) $f(x) = (10x - 5)^6$ (2) $f(x) = (4x^2 + x + 15)^3$ (3) $f(x) = e^{x^2 + 1}$ (4) $f(x) = xe^{x^3}$ (5) $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$（画像の $\sqrt[3]{x^2}$ を修正） (6) $f(x) = e^x 6^{x-5}$

はい、承知いたしました。画像にある関数の微分を計算します。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。

(1) $f(x) = (10x - 5)^6$

(2) $f(x) = (4x^2 + x + 15)^3$

(3) $f(x) = e^{x^2 + 1}$

(4) $f(x) = xe^{x^3}$

(5) $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$（画像の $\sqrt[3]{x^2}$ を修正）

(6) $f(x) = e^x 6^{x-5}$

2. 解き方の手順

(1) 合成関数の微分公式を使います。$f(x) = g(h(x))$ のとき $f'(x) = g'(h(x))h'(x)$

$f(x) = (10x - 5)^6$

$f'(x) = 6(10x - 5)^5 \cdot 10 = 60(10x - 5)^5$

(2) 合成関数の微分公式を使います。

$f(x) = (4x^2 + x + 15)^3$

$f'(x) = 3(4x^2 + x + 15)^2 \cdot (8x + 1) = (24x + 3)(4x^2 + x + 15)^2$

(3) 合成関数の微分公式を使います。

$f(x) = e^{x^2 + 1}$

$f'(x) = e^{x^2 + 1} \cdot 2x = 2xe^{x^2 + 1}$

(4) 積の微分公式と合成関数の微分公式を使います。$f(x) = u(x)v(x)$ のとき $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

$f(x) = xe^{x^3}$

$f'(x) = 1 \cdot e^{x^3} + x \cdot e^{x^3} \cdot 3x^2 = e^{x^3} + 3x^3e^{x^3} = (1 + 3x^3)e^{x^3}$

(5) $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$ の微分

$f'(x) = \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3} - 1} = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$

(6) 指数関数の微分公式を使います。$a^x$ の微分は $a^x \log a$です。積の微分公式も使います。

$f(x) = e^x 6^{x-5}$

$f'(x) = e^x 6^{x-5} + e^x 6^{x-5}\log 6 = e^x 6^{x-5}(1 + \log 6)$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = 60(10x - 5)^5$

(2) $f'(x) = (24x + 3)(4x^2 + x + 15)^2$

(3) $f'(x) = 2xe^{x^2 + 1}$

(4) $f'(x) = (1 + 3x^3)e^{x^3}$

(5) $f'(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$

(6) $f'(x) = e^x 6^{x-5}(1 + \log 6)$