定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$\cos^3 x$ を積分するために、$\cos^3 x = \cos x \cos^2 x$ と変形し、$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ を用います。

よって、

$\cos^3 x = \cos x (1 - \sin^2 x) = \cos x - \cos x \sin^2 x$ となります。

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos x - \cos x \sin^2 x) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \sin^2 x dx$

となります。

ここで、$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin \frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$

次に、$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \sin^2 x dx$ を計算します。

$u = \sin x$ とおくと、$du = \cos x dx$ となり、

$x = 0$ のとき $u = \sin 0 = 0$

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき $u = \sin \frac{\pi}{2} = 1$

よって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \sin^2 x dx = \int_{0}^{1} u^2 du = [\frac{u^3}{3}]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$