$n = 1, 2, 3, \dots$ に対して、$y = \log(nx)$ と $(x - \frac{1}{n})^2 + y^2 = 1$ の交点のうち、第1象限にある点を $(p_n, q_n)$ とする。 (1) 不等式 $1 - q_n^2 \le \frac{(e-1)^2}{n^2}$ を示すことにより、$\lim_{n \to \infty} q_n = 1$ を証明せよ。ただし、$e$ は自然対数の底である。 (2) $S_n = \int_{\frac{1}{n}}^{p_n} \log(nx) \, dx$ を $p_n$ で表せ。 (3) $\lim_{n \to \infty} nS_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

$n = 1, 2, 3, \dots$ に対して、$y = \log(nx)$ と $(x - \frac{1}{n})^2 + y^2 = 1$ の交点のうち、第1象限にある点を $(p_n, q_n)$ とする。

(1) 不等式 $1 - q_n^2 \le \frac{(e-1)^2}{n^2}$ を示すことにより、$\lim_{n \to \infty} q_n = 1$ を証明せよ。ただし、$e$ は自然対数の底である。

(2) $S_n = \int_{\frac{1}{n}}^{p_n} \log(nx) \, dx$ を $p_n$ で表せ。

(3) $\lim_{n \to \infty} nS_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $(p_n, q_n)$ は $(x - \frac{1}{n})^2 + y^2 = 1$ 上にあるので、

$(p_n - \frac{1}{n})^2 + q_n^2 = 1$

$q_n^2 = 1 - (p_n - \frac{1}{n})^2$

$1 - q_n^2 = (p_n - \frac{1}{n})^2$

また、$(p_n, q_n)$ は $y = \log(nx)$ 上にあるので、$q_n = \log(np_n)$.

$p_n = \frac{e^{q_n}}{n}$.

したがって、

$1 - q_n^2 = (\frac{e^{q_n}}{n} - \frac{1}{n})^2 = \frac{(e^{q_n} - 1)^2}{n^2}$

$1 - q_n^2 \le \frac{(e-1)^2}{n^2}$ を示せばよい。

$q_n \le 1$ を示せばよい。

$1 - (p_n - \frac{1}{n})^2 \ge 0$ より、$(p_n - \frac{1}{n})^2 \le 1$.

$-\le p_n - \frac{1}{n} \le 1$

$\frac{1}{n} - 1 \le p_n \le \frac{1}{n} + 1$

$q_n = \log(np_n) \le \log(n(\frac{1}{n}+1)) = \log(1+n)$.

$1 - q_n^2 = \frac{(e^{q_n} - 1)^2}{n^2} \le \frac{(e-1)^2}{n^2}$.

よって、$\frac{(e^{q_n} - 1)^2}{n^2} \le \frac{(e-1)^2}{n^2}$.

$1 - q_n^2 \le \frac{(e-1)^2}{n^2}$ より、$1 - \frac{(e-1)^2}{n^2} \le q_n^2 \le 1$.

$1 - \frac{(e-1)^2}{n^2} \to 1$ as $n \to \infty$.

したがって、$q_n^2 \to 1$ as $n \to \infty$.

よって、$q_n \to 1$ as $n \to \infty$.

$\lim_{n \to \infty} q_n = 1$.

(2) $S_n = \int_{\frac{1}{n}}^{p_n} \log(nx) \, dx$.

$u = nx$ とおくと、$x = \frac{u}{n}$, $dx = \frac{1}{n} \, du$.

$S_n = \int_{1}^{np_n} \log u \cdot \frac{1}{n} \, du = \frac{1}{n} \int_{1}^{np_n} \log u \, du = \frac{1}{n} [u \log u - u]_{1}^{np_n}$

$S_n = \frac{1}{n} [(np_n \log(np_n) - np_n) - (1 \log 1 - 1)] = \frac{1}{n} [np_n \log(np_n) - np_n + 1]$

$S_n = p_n \log(np_n) - p_n + \frac{1}{n}$.

$q_n = \log(np_n)$ より、$S_n = p_n q_n - p_n + \frac{1}{n}$.

(3) $\lim_{n \to \infty} nS_n = \lim_{n \to \infty} n (p_n q_n - p_n + \frac{1}{n})$.

$\lim_{n \to \infty} nS_n = \lim_{n \to \infty} n (p_n q_n - p_n) + 1$.

$q_n \to 1$ as $n \to \infty$. $q_n = \log(np_n) \to 1$ as $n \to \infty$.

$\lim_{n \to \infty} np_n = e$.

$p_n = \frac{e^{q_n}}{n}$.

$\lim_{n \to \infty} np_n = \lim_{n \to \infty} e^{q_n} = e$.

$\lim_{n \to \infty} nS_n = \lim_{n \to \infty} n (\frac{e^{q_n}}{n} q_n - \frac{e^{q_n}}{n}) + 1 = \lim_{n \to \infty} e^{q_n} (q_n - 1) + 1 = e \cdot 0 + 1 = 1$.

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{n \to \infty} q_n = 1$

(2) $S_n = p_n q_n - p_n + \frac{1}{n}$

(3) $\lim_{n \to \infty} nS_n = 1$