数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が以下の漸化式で定義されている。 $a_1 = 2$, $b_1 = 2$, $a_{n+1} = 6a_n + 2b_n$, $b_{n+1} = -2a_n + 2b_n$ (n=1, 2, 3, ...) (1) $c_n = a_n + b_n$ とおくとき、数列 $\{c_n\}$ の一般項を求めよ。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。 (3) 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が以下の漸化式で定義されている。

$a_1 = 2$, $b_1 = 2$, $a_{n+1} = 6a_n + 2b_n$, $b_{n+1} = -2a_n + 2b_n$ (n=1, 2, 3, ...)

(1) $c_n = a_n + b_n$ とおくとき、数列 $\{c_n\}$ の一般項を求めよ。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

(3) 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $c_n = a_n + b_n$ とおく。漸化式より、

$c_{n+1} = a_{n+1} + b_{n+1} = (6a_n + 2b_n) + (-2a_n + 2b_n) = 4a_n + 4b_n = 4(a_n + b_n) = 4c_n$

これは公比が4の等比数列である。

$c_1 = a_1 + b_1 = 2 + 2 = 4$

したがって、$c_n = 4 \cdot 4^{n-1} = 4^n$

(2) $a_{n+1} = 6a_n + 2b_n$ より、$b_n = \frac{1}{2}a_{n+1} - 3a_n$

$b_{n+1} = -2a_n + 2b_n$ に代入すると、$\frac{1}{2}a_{n+2} - 3a_{n+1} = -2a_n + 2(\frac{1}{2}a_{n+1} - 3a_n)$

$\frac{1}{2}a_{n+2} - 3a_{n+1} = -2a_n + a_{n+1} - 6a_n$

$\frac{1}{2}a_{n+2} - 4a_{n+1} + 8a_n = 0$

$a_{n+2} - 8a_{n+1} + 16a_n = 0$

特性方程式は $x^2 - 8x + 16 = 0$ $(x-4)^2 = 0$ なので、重解 $x = 4$ を持つ。

したがって、$a_n = (An + B)4^{n-1}$ と表せる。

$a_1 = (A + B)4^0 = A + B = 2$

$a_2 = 6a_1 + 2b_1 = 6(2) + 2(2) = 12 + 4 = 16$

$a_2 = (2A + B)4^{2-1} = 4(2A + B) = 16$

$2A + B = 4$

$A = (2A + B) - (A + B) = 4 - 2 = 2$

$B = 2 - A = 2 - 2 = 0$

よって、$a_n = (2n)4^{n-1}$

(3) $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} 2k \cdot 4^{k-1} = 2 \sum_{k=1}^{n} k \cdot 4^{k-1}$

$T_n = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 4^{k-1} = 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4^2 + \dots + n \cdot 4^{n-1}$

$4T_n = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 4^2 + \dots + (n-1)4^{n-1} + n \cdot 4^n$

$T_n - 4T_n = 1 + 4 + 4^2 + \dots + 4^{n-1} - n \cdot 4^n = \frac{1-4^n}{1-4} - n \cdot 4^n = \frac{4^n - 1}{3} - n \cdot 4^n$

$-3T_n = \frac{4^n - 1 - 3n \cdot 4^n}{3}$

$T_n = \frac{3n \cdot 4^n - 4^n + 1}{-9} = \frac{(3n-1)4^n + 1}{-9} = \frac{(1-3n)4^n - 1}{9}$

$S_n = 2T_n = \frac{2(1-3n)4^n - 2}{9} = \frac{2(1-3n)4^n - 2}{9} = \frac{-2(3n-1)4^n - 2}{9}$

$S_n = \frac{2 - 2(3n-1)4^n}{9}$

3. 最終的な答え

(1) $c_n = 4^n$

(2) $a_n = 2n \cdot 4^{n-1}$

(3) $S_n = \frac{2-2(3n-1)4^n}{9}$