$\log_{9} \sqrt{27}$ を底の変換公式を用いて簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\log_{9} \sqrt{27}$ を底の変換公式を用いて簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{27}$ を $3$ のべき乗の形で表します。

$\sqrt{27} = (27)^{1/2} = (3^3)^{1/2} = 3^{3/2}$

次に、底の変換公式を用いて、底を $3$ に変換します。

$\log_{9} \sqrt{27} = \log_{9} 3^{3/2} = \frac{\log_3 3^{3/2}}{\log_3 9}$

対数の性質より、

$\log_3 3^{3/2} = \frac{3}{2} \log_3 3 = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$

$\log_3 9 = \log_3 3^2 = 2 \log_3 3 = 2 \cdot 1 = 2$

よって、

$\frac{\log_3 3^{3/2}}{\log_3 9} = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}$