$f(x) = x^2 + ax + b$ とする。整式 $P(x)$ を $f(x)$ で割った余りが $cx + d$ であり、$xP(x)$ を $f(x)$ で割った余りが $qx + r$ であるとき、$q$ と $r$ を $a, b, c, d$ を用いて表す。

1. 問題の内容

$f(x) = x^2 + ax + b$ とする。整式 $P(x)$ を $f(x)$ で割った余りが $cx + d$ であり、$xP(x)$ を $f(x)$ で割った余りが $qx + r$ であるとき、$q$ と $r$ を $a, b, c, d$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $f(x)$ で割った商を $Q(x)$ とすると、

$P(x) = f(x)Q(x) + cx + d$

$P(x) = (x^2 + ax + b)Q(x) + cx + d$

両辺に $x$ を掛けると、

$xP(x) = x(x^2 + ax + b)Q(x) + x(cx + d)$

$xP(x) = x(x^2 + ax + b)Q(x) + cx^2 + dx$

ここで、$cx^2 + dx$ を $f(x) = x^2 + ax + b$ で割ることを考える。

$cx^2 + dx = c(x^2 + ax + b) - cax - cb + dx$

$cx^2 + dx = c(x^2 + ax + b) + (d - ca)x - cb$

したがって、$xP(x) = x(x^2 + ax + b)Q(x) + c(x^2 + ax + b) + (d - ca)x - cb$

$xP(x) = (xQ(x) + c)(x^2 + ax + b) + (d - ca)x - cb$

よって、$xP(x)$ を $f(x)$ で割った余りは $(d - ca)x - cb$ である。

問題文より、$xP(x)$ を $f(x)$ で割った余りは $qx + r$ なので、

$qx + r = (d - ca)x - cb$

係数を比較して、

$q = d - ca$

$r = -cb$

3. 最終的な答え

$q = d - ca$

$r = -cb$