与えられた4x4行列$B$の行列式$|B|$を計算します。 $ B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 5 & 4 & -1 & 0 \\ 3 & 1 & 2 & 0 \\ 3 & -3 & 1 & 2 \end{bmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列$B$の行列式$|B|$を計算します。

$B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 5 & 4 & -1 & 0 \\ 3 & 1 & 2 & 0 \\ 3 & -3 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式の計算は、いくつかの方法があります。ここでは、余因子展開を利用します。第4列に0が多く含まれているため、第4列で余因子展開を行うと計算が簡単になります。

$|B| = 0 \cdot C_{14} + 0 \cdot C_{24} + 0 \cdot C_{34} + 2 \cdot C_{44}$

ここで、$C_{ij}$は$(i, j)$成分に対する余因子です。

したがって、

$|B| = 2 \cdot C_{44} = 2 \cdot (-1)^{4+4} \cdot M_{44} = 2 \cdot M_{44}$

$M_{44}$は行列$B$から第4行と第4列を取り除いた3x3行列の行列式です。

$M_{44} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 5 & 4 & -1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

$M_{44}$を計算します。

$M_{44} = 1(4 \cdot 2 - (-1) \cdot 1) - 2(5 \cdot 2 - (-1) \cdot 3) + 3(5 \cdot 1 - 4 \cdot 3) = 1(8+1) - 2(10+3) + 3(5-12) = 1(9) - 2(13) + 3(-7) = 9 - 26 - 21 = -38$

したがって、$|B| = 2 \cdot M_{44} = 2 \cdot (-38) = -76$

3. 最終的な答え

$|B| = -76$