等比数列$\{a_n\}$において、公比が2、第8項が2048であるとき、初項と一般項を求める。

1. 問題の内容

等比数列$\{a_n\}$において、公比が2、第8項が2048であるとき、初項と一般項を求める。

2. 解き方の手順

(i) 初項を求める

等比数列の一般項は、$a_n = a_1 r^{n-1}$で表される。ここで、$a_n$は第n項、$a_1$は初項、$r$は公比である。

問題文より、$r=2$, $a_8 = 2048$であるから、

$a_8 = a_1 \cdot 2^{8-1} = a_1 \cdot 2^7 = 2048$

$2^7 = 128$であるから、

$128 a_1 = 2048$

$a_1 = \frac{2048}{128} = 16$

(ii) 一般項を求める

等比数列の一般項の式は、$a_n = a_1 r^{n-1}$である。

$a_1 = 16$, $r = 2$を代入すると、

$a_n = 16 \cdot 2^{n-1} = 2^4 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+3}$

3. 最終的な答え

(i) 初項: 16

(ii) 一般項: $a_n = 2^{n+3}$