与えられた数式や図形に関する問題を解き、空欄①から⑭に当てはまる数や式を求める問題です。具体的には、方程式を解いたり、グラフから式を求めたり、シグマ記号を用いた計算、関数の導関数を求めるなど、様々な数学の知識を必要とする問題が含まれています。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた数式や図形に関する問題を解き、空欄①から⑭に当てはまる数や式を求める問題です。具体的には、方程式を解いたり、グラフから式を求めたり、シグマ記号を用いた計算、関数の導関数を求めるなど、様々な数学の知識を必要とする問題が含まれています。

2. 解き方の手順

(1) $Y = 510 + 0.7Y - 120r$ を $Y$ について解く。

$Y - 0.7Y = 510 - 120r$

$0.3Y = 510 - 120r$

$Y = \frac{510 - 120r}{0.3}$

$Y = \frac{5100 - 1200r}{3}$

$Y = 1700 - 400r$

(2) 図の直線の式を求める。

グラフは $(0, 8)$ と $(4, 0)$ を通る直線なので、傾きは $\frac{0 - 8}{4 - 0} = -2$ 。

切片は 8 なので、直線の方程式は $y = -2x + 8$ 。

(3) (a) $x^2 - 4x - 32 = 0$ を解く。

$(x - 8)(x + 4) = 0$

$x = 8, -4$

(b) $2x^2 + 7x - 15 = 0$ を解く。

$(2x - 3)(x + 5) = 0$

$x = \frac{3}{2}, -5$

(4) $\sum_{k=1}^{5} k(k+3)$ をシグマ記号を使わずに表し、計算する。

$\sum_{k=1}^{5} k(k+3) = 1(1+3) + 2(2+3) + 3(3+3) + 4(4+3) + 5(5+3) = 1(4) + 2(5) + 3(6) + 4(7) + 5(8) = 4 + 10 + 18 + 28 + 40 = 100$

(5) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^{n-1}$ を計算する。

これは初項 $a = 1$、公比 $r = \frac{1}{3}$ の無限等比級数なので、

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$

(6) $y = -2x^2 + 16x - 20$ の頂点の座標を求める。

$y = -2(x^2 - 8x) - 20 = -2(x^2 - 8x + 16 - 16) - 20 = -2(x-4)^2 + 32 - 20 = -2(x-4)^2 + 12$

頂点の座標は $(4, 12)$ 。

(7) $y = -2x^3 + 15x^2 - 36x + 27$ の導関数 $y'$ を求める。

$y' = -6x^2 + 30x - 36$

(8) 曲線 $y = x^3 + x^2 + x + 1$ 上の点 $(-1, 0)$ における接線の方程式を求める。

$y' = 3x^2 + 2x + 1$

$x = -1$ のとき、$y' = 3(-1)^2 + 2(-1) + 1 = 3 - 2 + 1 = 2$

接線の方程式は $y - 0 = 2(x - (-1))$ なので、$y = 2x + 2$

(9) $y = x^2(3x + 5)^3$ の導関数 $y'$ を求める。

$y' = 2x(3x+5)^3 + x^2 \cdot 3(3x+5)^2 \cdot 3 = 2x(3x+5)^3 + 9x^2(3x+5)^2 = x(3x+5)^2[2(3x+5) + 9x] = x(3x+5)^2(6x+10+9x) = x(3x+5)^2(15x+10) = 5x(3x+5)^2(3x+2)$

(10) $y = \frac{5x^2 - 9x + 8}{x^2 + 1}$ の導関数 $y'$ を求める。

$y' = \frac{(10x - 9)(x^2+1) - (5x^2 - 9x + 8)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{10x^3 - 9x^2 + 10x - 9 - (10x^3 - 18x^2 + 16x)}{(x^2+1)^2} = \frac{10x^3 - 9x^2 + 10x - 9 - 10x^3 + 18x^2 - 16x}{(x^2+1)^2} = \frac{9x^2 - 6x - 9}{(x^2+1)^2} = \frac{3(3x^2 - 2x - 3)}{(x^2+1)^2}$

3. 最終的な答え

①: $1700 - 400r$

②: $y = -2x + 8$

③: $8$

④: $-4$

⑤: $\frac{3}{2}$

⑥: $-5$

⑦: $1(4) + 2(5) + 3(6) + 4(7) + 5(8)$

⑧: $100$

⑨: $\frac{3}{2}$

⑩: $(4, 12)$

⑪: $-6x^2 + 30x - 36$

⑫: $y = 2x + 2$

⑬: $5x(3x+5)^2(3x+2)$

⑭: $\frac{3(3x^2 - 2x - 3)}{(x^2+1)^2}$