以下の問題を解き、空欄を埋める。 (1) $Y = 510 + 0.7Y - 120$ を $Y$ について解く。 (2) 図の直線の式を求める。 (3) 2次方程式 $x^2 - 4x - 32 = 0$ と $2x^2 + 7x - 15 = 0$ を解く。 (4) $\sum_{k=1}^{5} k(k+3)$ をシグマ記号を用いずに表し、計算する。 (5) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^{n-1}$ を計算する。 (6) 2次関数 $y = -2x^2 + 16x - 20$ の頂点の座標を求める。 (7) 3次関数 $y = -2x^3 + 15x^2 - 36x + 27$ の導関数を求める。 (8) 曲線 $y = x^3 + x^2 + x + 1$ 上の点 $(-1, 0)$ における接線の方程式を求める。 (9) $y = x^2 (3x + 5)^3$ の導関数を求める。 (10) $y = \frac{5x^2 - 9x + 8}{x^2 + 1}$ の導関数を求める。

1. 問題の内容

以下の問題を解き、空欄を埋める。

(1) $Y = 510 + 0.7Y - 120$ を $Y$ について解く。

(2) 図の直線の式を求める。

(3) 2次方程式 $x^2 - 4x - 32 = 0$ と $2x^2 + 7x - 15 = 0$ を解く。

(4) $\sum_{k=1}^{5} k(k+3)$ をシグマ記号を用いずに表し、計算する。

(5) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^{n-1}$ を計算する。

(6) 2次関数 $y = -2x^2 + 16x - 20$ の頂点の座標を求める。

(7) 3次関数 $y = -2x^3 + 15x^2 - 36x + 27$ の導関数を求める。

(8) 曲線 $y = x^3 + x^2 + x + 1$ 上の点 $(-1, 0)$ における接線の方程式を求める。

(9) $y = x^2 (3x + 5)^3$ の導関数を求める。

(10) $y = \frac{5x^2 - 9x + 8}{x^2 + 1}$ の導関数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$Y = 510 + 0.7Y - 120$

$0.3Y = 390$

$Y = 1300$

(2)

グラフより、直線は $(0, -2)$ と $(4, -1)$ を通る。

傾きは $\frac{-1 - (-2)}{4 - 0} = \frac{1}{4}$。

よって、直線の方程式は $y = \frac{1}{4}x - 2$。

(3)

(a) $x^2 - 4x - 32 = 0$

$(x - 8)(x + 4) = 0$

$x = 8, -4$

(b) $2x^2 + 7x - 15 = 0$

$(2x - 3)(x + 5) = 0$

$x = \frac{3}{2}, -5$

(4)

$\sum_{k=1}^{5} k(k+3) = \sum_{k=1}^{5} (k^2 + 3k) = 1(1+3) + 2(2+3) + 3(3+3) + 4(4+3) + 5(5+3)$

$= 4 + 10 + 18 + 28 + 40 = 100$

(5)

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^{n-1} = 1 + \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2 + ... = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$

(6)

$y = -2x^2 + 16x - 20 = -2(x^2 - 8x) - 20 = -2(x^2 - 8x + 16 - 16) - 20 = -2(x - 4)^2 + 32 - 20 = -2(x - 4)^2 + 12$

頂点の座標は $(4, 12)$

(7)

$y' = -6x^2 + 30x - 36$

(8)

$y' = 3x^2 + 2x + 1$

$x = -1$ のとき、$y' = 3(-1)^2 + 2(-1) + 1 = 3 - 2 + 1 = 2$

点 $(-1, 0)$ における接線の方程式は $y - 0 = 2(x - (-1)) = 2(x + 1)$

$y = 2x + 2$

(9)

$y = x^2 (3x + 5)^3$

$y' = 2x (3x + 5)^3 + x^2 \cdot 3 (3x + 5)^2 \cdot 3 = 2x (3x + 5)^3 + 9x^2 (3x + 5)^2 = x (3x + 5)^2 [2 (3x + 5) + 9x] = x (3x + 5)^2 (6x + 10 + 9x) = x (3x + 5)^2 (15x + 10) = 5x (3x + 5)^2 (3x + 2)$

(10)

$y = \frac{5x^2 - 9x + 8}{x^2 + 1}$

$y' = \frac{(10x - 9)(x^2 + 1) - (5x^2 - 9x + 8)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{10x^3 - 9x^2 + 10x - 9 - (10x^3 - 18x^2 + 16x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{9x^2 - 6x - 9}{(x^2 + 1)^2} = \frac{3(3x^2 - 2x - 3)}{(x^2 + 1)^2}$

3. 最終的な答え

(1) 1300

(2) $y = \frac{1}{4}x - 2$

(3) 8, -4, 3/2, -5

(4) 100

(5) 3/2

(6) (4, 12)

(7) $-6x^2 + 30x - 36$

(8) $y = 2x + 2$

(9) $5x (3x + 5)^2 (3x + 2)$

(10) $\frac{3(3x^2 - 2x - 3)}{(x^2 + 1)^2}$