与えられた4つの二次関数について、最大値または最小値を求めよ。

## 回答

1. 問題の内容

与えられた4つの二次関数について、最大値または最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

各二次関数を平方完成の形に変形し、頂点の座標を求めることで、最大値または最小値を判断します。

(1) $y = x^2 + 8x$

$y = (x^2 + 8x + 16) - 16$

$y = (x + 4)^2 - 16$

これは下に凸の放物線なので、最小値は $x = -4$ のとき $y = -16$ です。最大値はありません。

(2) $y = 2x^2 - 8x + 8$

$y = 2(x^2 - 4x) + 8$

$y = 2(x^2 - 4x + 4) - 8 + 8$

$y = 2(x - 2)^2$

これは下に凸の放物線なので、最小値は $x = 2$ のとき $y = 0$ です。最大値はありません。

(3) $y = -x^2 + 2x + 5$

$y = -(x^2 - 2x) + 5$

$y = -(x^2 - 2x + 1) + 1 + 5$

$y = -(x - 1)^2 + 6$

これは上に凸の放物線なので、最大値は $x = 1$ のとき $y = 6$ です。最小値はありません。

(4) $y = -x^2 - 6x - 8$

$y = -(x^2 + 6x) - 8$

$y = -(x^2 + 6x + 9) + 9 - 8$

$y = -(x + 3)^2 + 1$

これは上に凸の放物線なので、最大値は $x = -3$ のとき $y = 1$ です。最小値はありません。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: -16, 最大値: なし

(2) 最小値: 0, 最大値: なし

(3) 最小値: なし, 最大値: 6

(4) 最小値: なし, 最大値: 1