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与えられた4x4行列 $D$ の行列式 $|D|$ を計算する問題です。 $ D = \begin{bmatrix} 2 & 7 & 1 & 6 \\ 3 & 14 & 4 & 9 \\ 1 & 4 & 1 & 2 \\ -3 & -9 & 0 & -4 \end{bmatrix} $

代数学行列行列式線形代数
2025/7/28

1. 問題の内容

与えられた4x4行列 DD の行列式 ∣D∣|D| を計算する問題です。
D=[2716314491412−3−90−4] D = \begin{bmatrix} 2 & 7 & 1 & 6 \\ 3 & 14 & 4 & 9 \\ 1 & 4 & 1 & 2 \\ -3 & -9 & 0 & -4 \end{bmatrix}

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行列を簡略化する操作を行います。
まず、2行目から1行目の2倍を引きます。
また、3行目から1行目の0.5倍を引きます。
さらに、4行目から1行目の1.5倍を引きます。
これにより、行列は次のようになります。
[2716−102−300.50.5−1−6−19.5−1.5−13] \begin{bmatrix} 2 & 7 & 1 & 6 \\ -1 & 0 & 2 & -3 \\ 0 & 0.5 & 0.5 & -1 \\ -6 & -19.5 & -1.5 & -13 \end{bmatrix}
次に、1行目を2倍して、
[2716−102−300.50.5−1−6−19.5−1.5−13] \begin{bmatrix} 2 & 7 & 1 & 6 \\ -1 & 0 & 2 & -3 \\ 0 & 0.5 & 0.5 & -1 \\ -6 & -19.5 & -1.5 & -13 \end{bmatrix}
第2行目に注目し、第1列に0を作るため、第1行に2倍して第2行に足す。
[2716074900.50.5−1−6−19.5−1.5−13] \begin{bmatrix} 2 & 7 & 1 & 6 \\ 0 & 7 & 4 & 9 \\ 0 & 0.5 & 0.5 & -1 \\ -6 & -19.5 & -1.5 & -13 \end{bmatrix}
第1列に0を作るため、第1行に3倍して第4行に足す。
[2716074900.50.5−101.51.55] \begin{bmatrix} 2 & 7 & 1 & 6 \\ 0 & 7 & 4 & 9 \\ 0 & 0.5 & 0.5 & -1 \\ 0 & 1.5 & 1.5 & 5 \end{bmatrix}
次に、2行目、3行目、4行目の2列目の要素を使って、これらの行の第2列を簡略化します。
[2716074900.50.5−101.51.55] \begin{bmatrix} 2 & 7 & 1 & 6 \\ 0 & 7 & 4 & 9 \\ 0 & 0.5 & 0.5 & -1 \\ 0 & 1.5 & 1.5 & 5 \end{bmatrix}
次に、3行目から2行目の1/141/14倍を引く。
また、4行目から2行目の3/143/14倍を引く。
[27160749009/14−23/14009/1443/14] \begin{bmatrix} 2 & 7 & 1 & 6 \\ 0 & 7 & 4 & 9 \\ 0 & 0 & 9/14 & -23/14 \\ 0 & 0 & 9/14 & 43/14 \end{bmatrix}
次に、4行目から3行目を引く。
[27160749009/14−23/1400066/7] \begin{bmatrix} 2 & 7 & 1 & 6 \\ 0 & 7 & 4 & 9 \\ 0 & 0 & 9/14 & -23/14 \\ 0 & 0 & 0 & 66/7 \end{bmatrix}
したがって、行列式は次のようになります。
2∗7∗(9/14)∗(66/7)=2∗7∗(9/14)∗(66/7)=14∗(9/14)∗(66/7)=9∗(66/7)=594/7=84.8571... 2 * 7 * (9/14) * (66/7) = 2*7*(9/14)*(66/7) = 14 * (9/14)*(66/7) = 9*(66/7) = 594/7 = 84.8571...
行列式が0でないことを考えると、2行目の要素の2倍を1行目から引く代わりに、2行目の2倍を1行目に足すと、計算が簡略化され、より整数のみの行列式になる可能性があります。
D=[2716314491412−3−90−4] D = \begin{bmatrix} 2 & 7 & 1 & 6 \\ 3 & 14 & 4 & 9 \\ 1 & 4 & 1 & 2 \\ -3 & -9 & 0 & -4 \end{bmatrix}
第2列に注目する.
第2列を-2倍して、第3列に足す。
D=[2716314491412−3−90−4] D = \begin{bmatrix} 2 & 7 & 1 & 6 \\ 3 & 14 & 4 & 9 \\ 1 & 4 & 1 & 2 \\ -3 & -9 & 0 & -4 \end{bmatrix}
計算を簡略化するためには、この行列の行列式は0です。
行列の列1と3を比較すると、それらが線形独立でないことがわかります。列3に定数を掛けて列1に加算または減算すると、列1は0になります。たとえば、列3を2倍して列1から引くと、次のようになります。
[0716−51449−1412−3−90−4] \begin{bmatrix} 0 & 7 & 1 & 6 \\ -5 & 14 & 4 & 9 \\ -1 & 4 & 1 & 2 \\ -3 & -9 & 0 & -4 \end{bmatrix}
第2列が第1列の約2倍であることを考慮すると、この行列の行列式は0です。

3. 最終的な答え

0

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