問題4の(1) 初項4、公比-3の等比数列の初項から第5項までの和を求めよ。(2) 初項2、公比$\sqrt{3}$、項数4の等比数列の和を求めよ。(3) 等比数列 3, -2, $\frac{4}{3}$, -$\frac{8}{9}$, ... の初項から第n項までの和 $S_n$ を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文に示された形式で回答します。

1. 問題の内容

問題4の(1) 初項4、公比-3の等比数列の初項から第5項までの和を求めよ。(2) 初項2、公比$\sqrt{3}$、項数4の等比数列の和を求めよ。(3) 等比数列 3, -2, $\frac{4}{3}$, -$\frac{8}{9}$, ... の初項から第n項までの和 $S_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ を用いる。ここで、初項 $a = 4$, 公比 $r = -3$, 項数 $n = 5$ を代入する。

$$S_5 = \frac{4(1 - (-3)^5)}{1 - (-3)} = \frac{4(1 - (-243))}{4} = 1 + 243 = 244$$

(2) 等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ を用いる。ここで、初項 $a = 2$, 公比 $r = \sqrt{3}$, 項数 $n = 4$ を代入する。

$$S_4 = \frac{2(1 - (\sqrt{3})^4)}{1 - \sqrt{3}} = \frac{2(1 - 9)}{1 - \sqrt{3}} = \frac{-16}{1 - \sqrt{3}} = \frac{-16(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{-16(1 + \sqrt{3})}{1 - 3} = \frac{-16(1 + \sqrt{3})}{-2} = 8(1 + \sqrt{3}) = 8 + 8\sqrt{3}$$

(3) 等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ を用いる。ここで、初項 $a = 3$, 公比 $r = -\frac{2}{3}$ を代入する。

$$S_n = \frac{3(1 - (-\frac{2}{3})^n)}{1 - (-\frac{2}{3})} = \frac{3(1 - (-\frac{2}{3})^n)}{\frac{5}{3}} = \frac{9}{5}(1 - (-\frac{2}{3})^n)$$

3. 最終的な答え

(1) 244

(2) $8 + 8\sqrt{3}$

(3) $S_n = \frac{9}{5}(1 - (-\frac{2}{3})^n)$