関数 $y=x^2+x$ のグラフに点 $(2, -3)$ から引いた接線の方程式を求める問題です。接線の方程式が $y = -x - 1$ と $y = \dots$ の形で与えられており、もう一方の接線を求める必要があります。

1. 問題の内容

関数 $y=x^2+x$ のグラフに点 $(2, -3)$ から引いた接線の方程式を求める問題です。接線の方程式が $y = -x - 1$ と $y = \dots$ の形で与えられており、もう一方の接線を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、接点の座標を $(t, t^2+t)$ とおきます。

次に、$y = x^2 + x$ を微分して、接線の傾きを求めます。

$y' = 2x + 1$

したがって、接点 $(t, t^2+t)$ における接線の傾きは $2t + 1$ となります。

よって、接線の方程式は

$y - (t^2+t) = (2t+1)(x-t)$

と表せます。

この接線が点 $(2, -3)$ を通るので、これを代入します。

$-3 - (t^2+t) = (2t+1)(2-t)$

$-3 - t^2 - t = 4t - 2t^2 + 2 - t$

$-3 - t^2 - t = -2t^2 + 3t + 2$

$t^2 - 4t - 5 = 0$

$(t-5)(t+1) = 0$

よって、$t = 5$ または $t = -1$ となります。

$t = -1$ のとき、接点は $(-1, 0)$ であり、接線の傾きは $2(-1)+1 = -1$ なので、接線の方程式は $y - 0 = -1(x+1)$ より $y = -x - 1$ となります。これは問題文に与えられています。

$t = 5$ のとき、接点は $(5, 30)$ であり、接線の傾きは $2(5)+1 = 11$ なので、接線の方程式は $y - 30 = 11(x-5)$ より $y = 11x - 55 + 30$ となり、$y = 11x - 25$ となります。

3. 最終的な答え

$y = 11x - 25$