長さが8cmの線分ABがあり、点PがAからBまで動く。APとPBをそれぞれ一辺とする正方形の面積の和が36cm²になるのは、点PがAから何cm動いたときか。

1. 問題の内容

長さが8cmの線分ABがあり、点PがAからBまで動く。APとPBをそれぞれ一辺とする正方形の面積の和が36cm²になるのは、点PがAから何cm動いたときか。

2. 解き方の手順

点PがAから $x$ cm動いたとすると、AP = $x$ cm、PB = $(8 - x)$ cmとなる。

APを一辺とする正方形の面積は$x^2$ cm²、PBを一辺とする正方形の面積は$(8 - x)^2$ cm²。

これらの面積の和が36cm²なので、以下の式が成り立つ。

$x^2 + (8 - x)^2 = 36$

この式を展開して整理する。

$x^2 + (64 - 16x + x^2) = 36$

$2x^2 - 16x + 64 = 36$

$2x^2 - 16x + 28 = 0$

$x^2 - 8x + 14 = 0$

この2次方程式を解くために、解の公式を用いる。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 1$, $b = -8$, $c = 14$である。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(14)}}{2(1)}$

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 56}}{2}$

$x = \frac{8 \pm \sqrt{8}}{2}$

$x = \frac{8 \pm 2\sqrt{2}}{2}$

$x = 4 \pm \sqrt{2}$

$x = 4 + \sqrt{2}$ または $x = 4 - \sqrt{2}$

$x$ は線分AB上の距離なので、$0 \le x \le 8$を満たす必要がある。

$4 + \sqrt{2} \approx 4 + 1.414 = 5.414$

$4 - \sqrt{2} \approx 4 - 1.414 = 2.586$

どちらの解も、$0 \le x \le 8$を満たしている。

3. 最終的な答え

$4 + \sqrt{2}$ cm, $4 - \sqrt{2}$ cm