関数 $y = 3x^2 - 2x + 1$ のグラフ上の点 $(2, 9)$ における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = 3x^2 - 2x + 1$ のグラフ上の点 $(2, 9)$ における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = 3x^2 - 2x + 1$ を微分して、導関数 $y'$ を求める。

$y' = \frac{dy}{dx} = 6x - 2$

次に、点 $(2, 9)$ における接線の傾き $m$ を求めるために、導関数 $y'$ に $x = 2$ を代入する。

$m = y'(2) = 6(2) - 2 = 12 - 2 = 10$

これで、接線の傾きが $10$ であることが分かった。

点 $(2, 9)$ を通り、傾き $10$ の直線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で表される。

$y - 9 = 10(x - 2)$

これを変形して、接線の方程式を求める。

$y - 9 = 10x - 20$

$y = 10x - 20 + 9$

$y = 10x - 11$

3. 最終的な答え

$y = 10x - 11$