xy平面上を運動する質点の速度 $\vec{v} = (v_x, v_y) = (2\sqrt{t}, 1-t)$ が与えられている。 (1) 時刻 $t=0$ から $t=4$ の間の変位ベクトル $\Delta \vec{r} = \int_0^4 \vec{v} dt$ を求めよ。 (2) 時刻 $t=0$ から $t=4$ の間の経路の長さ $s = \int_0^4 |\vec{v}| dt$ を求めよ。

1. 問題の内容

xy平面上を運動する質点の速度 $\vec{v} = (v_x, v_y) = (2\sqrt{t}, 1-t)$ が与えられている。

(1) 時刻 $t=0$ から $t=4$ の間の変位ベクトル $\Delta \vec{r} = \int_0^4 \vec{v} dt$ を求めよ。

(2) 時刻 $t=0$ から $t=4$ の間の経路の長さ $s = \int_0^4 |\vec{v}| dt$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 変位ベクトル $\Delta \vec{r}$ を求める。

$\Delta \vec{r} = \int_0^4 \vec{v} dt = \int_0^4 (2\sqrt{t}, 1-t) dt = (\int_0^4 2\sqrt{t} dt, \int_0^4 (1-t) dt)$

それぞれの積分を計算する。

$\int_0^4 2\sqrt{t} dt = 2 \int_0^4 t^{1/2} dt = 2 [\frac{2}{3} t^{3/2}]_0^4 = 2 \cdot \frac{2}{3} (4^{3/2} - 0^{3/2}) = \frac{4}{3} \cdot 8 = \frac{32}{3}$

$\int_0^4 (1-t) dt = [t - \frac{1}{2}t^2]_0^4 = (4 - \frac{1}{2} \cdot 16) - (0 - 0) = 4 - 8 = -4$

したがって、 $\Delta \vec{r} = (\frac{32}{3}, -4)$

(2) 経路の長さ $s$ を求める。

$s = \int_0^4 |\vec{v}| dt = \int_0^4 \sqrt{(2\sqrt{t})^2 + (1-t)^2} dt = \int_0^4 \sqrt{4t + 1 - 2t + t^2} dt = \int_0^4 \sqrt{t^2 + 2t + 1} dt$

$s = \int_0^4 \sqrt{(t+1)^2} dt = \int_0^4 |t+1| dt$

$0 \le t \le 4$ で $t+1 > 0$ なので、$|t+1| = t+1$

$s = \int_0^4 (t+1) dt = [\frac{1}{2}t^2 + t]_0^4 = (\frac{1}{2} \cdot 16 + 4) - (0+0) = 8+4 = 12$

3. 最終的な答え

(1) $\Delta \vec{r} = (\frac{32}{3}, -4)$

(2) $s = 12$