与えられた導関数 $f'(x) = 13e^{2x}(\cos 3x - \sin 3x)$ から、元の関数 $f(x)$ を求める。つまり、不定積分 $\int f'(x) dx$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた導関数 $f'(x) = 13e^{2x}(\cos 3x - \sin 3x)$ から、元の関数 $f(x)$ を求める。つまり、不定積分 $\int f'(x) dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = \int 13e^{2x}(\cos 3x - \sin 3x) dx$ を計算する必要がある。

定数倍は積分の外に出せるので、

$f(x) = 13 \int e^{2x}(\cos 3x - \sin 3x) dx$

$I = \int e^{2x} \cos 3x dx$

$J = \int e^{2x} \sin 3x dx$

とおく。部分積分を適用する。

$I = \int e^{2x} \cos 3x dx = \frac{1}{2} e^{2x} \cos 3x - \int \frac{1}{2} e^{2x} (-3\sin 3x) dx = \frac{1}{2} e^{2x} \cos 3x + \frac{3}{2} \int e^{2x} \sin 3x dx = \frac{1}{2}e^{2x}\cos 3x + \frac{3}{2} J$

$J = \int e^{2x} \sin 3x dx = \frac{1}{2} e^{2x} \sin 3x - \int \frac{1}{2} e^{2x} (3\cos 3x) dx = \frac{1}{2} e^{2x} \sin 3x - \frac{3}{2} \int e^{2x} \cos 3x dx = \frac{1}{2} e^{2x} \sin 3x - \frac{3}{2} I$

$I = \frac{1}{2}e^{2x}\cos 3x + \frac{3}{2} (\frac{1}{2} e^{2x} \sin 3x - \frac{3}{2} I) = \frac{1}{2}e^{2x}\cos 3x + \frac{3}{4}e^{2x}\sin 3x - \frac{9}{4}I$

$I + \frac{9}{4}I = \frac{1}{2}e^{2x}\cos 3x + \frac{3}{4}e^{2x}\sin 3x$

$\frac{13}{4}I = \frac{1}{2}e^{2x}\cos 3x + \frac{3}{4}e^{2x}\sin 3x$

$I = \frac{4}{13} (\frac{1}{2}e^{2x}\cos 3x + \frac{3}{4}e^{2x}\sin 3x) = \frac{2}{13}e^{2x}\cos 3x + \frac{3}{13}e^{2x}\sin 3x$

$J = \frac{1}{2} e^{2x} \sin 3x - \frac{3}{2} I = \frac{1}{2} e^{2x} \sin 3x - \frac{3}{2} (\frac{2}{13}e^{2x}\cos 3x + \frac{3}{13}e^{2x}\sin 3x) = \frac{1}{2} e^{2x} \sin 3x - \frac{3}{13} e^{2x} \cos 3x - \frac{9}{26} e^{2x} \sin 3x = \frac{13}{26}e^{2x}\sin 3x - \frac{9}{26}e^{2x}\sin 3x - \frac{3}{13}e^{2x}\cos 3x = \frac{4}{26}e^{2x}\sin 3x - \frac{3}{13}e^{2x}\cos 3x = \frac{2}{13}e^{2x}\sin 3x - \frac{3}{13}e^{2x}\cos 3x$

したがって、

$\int e^{2x} (\cos 3x - \sin 3x) dx = I - J = (\frac{2}{13}e^{2x}\cos 3x + \frac{3}{13}e^{2x}\sin 3x) - (\frac{2}{13}e^{2x}\sin 3x - \frac{3}{13}e^{2x}\cos 3x) = \frac{5}{13}e^{2x}\cos 3x + \frac{1}{13}e^{2x}\sin 3x$

$f(x) = 13 \int e^{2x}(\cos 3x - \sin 3x) dx = 13 (\frac{5}{13}e^{2x}\cos 3x + \frac{1}{13}e^{2x}\sin 3x) + C = 5e^{2x}\cos 3x + e^{2x}\sin 3x + C = e^{2x}(5\cos 3x + \sin 3x) + C$

3. 最終的な答え

$f(x) = e^{2x}(5\cos 3x + \sin 3x) + C$