次の定積分を計算します。 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\sin x - \cos x| dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\sin x - \cos x| dx$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $|\sin x - \cos x|$ の絶対値を外します。

$\sin x - \cos x = 0$ となる $x$ を求めます。

$\sin x = \cos x$ となるのは、$x = \frac{\pi}{4}$ のときです。

$0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ のとき、$\cos x \geq \sin x$ であるため、$\sin x - \cos x \leq 0$ となり、$|\sin x - \cos x| = -(\sin x - \cos x) = \cos x - \sin x$ です。

$\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ のとき、$\sin x \geq \cos x$ であるため、$\sin x - \cos x \geq 0$ となり、$|\sin x - \cos x| = \sin x - \cos x$ です。

したがって、積分は次のように分割できます。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\sin x - \cos x| dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \cos x) dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = (\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0) = (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \cos x) dx = [-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = (-\cos \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2}) - (-\cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4}) = (0 - 1) - (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) = -1 + \sqrt{2}$

よって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\sin x - \cos x| dx = (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} - 1) = 2\sqrt{2} - 2$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2} - 2$