関数 $f(x) = (\sin 3x + 5\cos 3x)e^{2x}$ が与えられています。定義域は $0 < x \le \frac{\pi}{3}$ です。問題は、この関数に関して何を問うているのかが明確ではありません。ここでは、この関数の微分を求めることにします。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (\sin 3x + 5\cos 3x)e^{2x}$ が与えられています。定義域は $0 < x \le \frac{\pi}{3}$ です。問題は、この関数に関して何を問うているのかが明確ではありません。ここでは、この関数の微分を求めることにします。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分します。積の微分法則を用います。

$u(x) = \sin 3x + 5\cos 3x$

$v(x) = e^{2x}$

とすると、$f(x) = u(x)v(x)$ となります。積の微分法則より、

$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

次に、$u'(x)$ と $v'(x)$ を求めます。

$u'(x) = \frac{d}{dx}(\sin 3x + 5\cos 3x) = 3\cos 3x - 15\sin 3x$

$v'(x) = \frac{d}{dx}(e^{2x}) = 2e^{2x}$

したがって、

$f'(x) = (3\cos 3x - 15\sin 3x)e^{2x} + (\sin 3x + 5\cos 3x)(2e^{2x})$

$f'(x) = e^{2x}(3\cos 3x - 15\sin 3x + 2\sin 3x + 10\cos 3x)$

$f'(x) = e^{2x}(13\cos 3x - 13\sin 3x)$

$f'(x) = 13e^{2x}(\cos 3x - \sin 3x)$

3. 最終的な答え

$f'(x) = 13e^{2x}(\cos 3x - \sin 3x)$