$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{4}x dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{4}x dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^{2}x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$ を使って $\cos^4 x$ を変形します。

$\cos^4 x = (\cos^2 x)^2 = \left(\frac{1+\cos(2x)}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}(1+2\cos(2x)+\cos^2(2x))$

さらに、$\cos^2(2x) = \frac{1+\cos(4x)}{2}$ を使って変形します。

$\cos^4 x = \frac{1}{4}\left(1+2\cos(2x)+\frac{1+\cos(4x)}{2}\right) = \frac{1}{4}\left(\frac{3}{2}+2\cos(2x)+\frac{1}{2}\cos(4x)\right)$

$\cos^4 x = \frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos(2x)+\frac{1}{8}\cos(4x)$

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{4}x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos(2x)+\frac{1}{8}\cos(4x)\right) dx$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{4}x dx = \left[\frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{4}x dx = \left(\frac{3}{8}\cdot\frac{\pi}{2} + \frac{1}{4}\sin(\pi) + \frac{1}{32}\sin(2\pi)\right) - \left(\frac{3}{8}\cdot0 + \frac{1}{4}\sin(0) + \frac{1}{32}\sin(0)\right)$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{4}x dx = \frac{3\pi}{16} + 0 + 0 - (0 + 0 + 0) = \frac{3\pi}{16}$

3. 最終的な答え

$\frac{3\pi}{16}$