関数 $f(x) = x^2$ と集合 $S_1 = \{x \in \mathbb{R} \mid x \le 0\}$ が与えられています。このとき、$f(S_1)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2$ と集合 $S_1 = \{x \in \mathbb{R} \mid x \le 0\}$ が与えられています。このとき、$f(S_1)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$S_1$ は実数全体の中で0以下の実数の集合です。つまり、$S_1 = (-\infty, 0]$ です。

次に、$f(S_1)$ は $S_1$ の要素を関数 $f(x) = x^2$ で写した像です。

$x \in S_1$ ならば $x \le 0$ です。

$f(x) = x^2$ であるから、$f(x) = x^2 \ge 0$ です。

さらに、任意の $y \ge 0$ に対して、$x = -\sqrt{y}$ とすると、$x \in S_1$ であり、$f(x) = (-\sqrt{y})^2 = y$ です。

したがって、$f(S_1)$ は0以上のすべての実数を含むことになります。

つまり、$f(S_1) = \{f(x) \mid x \in S_1\} = \{x^2 \mid x \le 0\} = [0, \infty)$ となります。

理由:

$S_1$は0以下の実数全体であり、$f(x) = x^2$ はどんな実数に対しても0以上の値を返します。また、0以下の任意の実数$x$に対して、$f(x) = x^2$は0以上の任意の実数を表現できます。したがって、$f(S_1)$は0以上の実数全体となります。

3. 最終的な答え

正解：$f(S_1) = [0, \infty)$

その理由：

$S_1$ は0以下の実数全体です。関数 $f(x) = x^2$ は、0以下の実数を二乗すると、0以上の実数になります。また、任意の0以上の実数 $y$ に対して、$x = -\sqrt{y}$ とすれば、$x \in S_1$ かつ $f(x) = y$ となるので、$f(S_1)$ は0以上の実数全体となります。