次の無限級数の和を求めます。 $\frac{3}{1\cdot2} + \frac{3}{2\cdot3} + \frac{3}{3\cdot4} + \cdots + \frac{3}{n(n+1)} + \cdots$

1. 問題の内容

次の無限級数の和を求めます。

$\frac{3}{1\cdot2} + \frac{3}{2\cdot3} + \frac{3}{3\cdot4} + \cdots + \frac{3}{n(n+1)} + \cdots$

2. 解き方の手順

この級数は、各項を部分分数分解することで計算できます。

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

であるため、

$\frac{3}{n(n+1)} = 3(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$

となります。

よって、第 $n$ 項までの部分和 $S_n$ は、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{3}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n} 3(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) = 3 \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1})$

これは、伸縮和（telescoping sum）になっているので、

$S_n = 3 [ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \cdots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) ]$

$S_n = 3 (1 - \frac{1}{n+1})$

となります。

無限級数の和は、$n \to \infty$ のときの $S_n$ の極限を取ることで求められます。

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} 3 (1 - \frac{1}{n+1}) = 3 (1 - 0) = 3$

3. 最終的な答え

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