線分ABを直径とする円周上に、線分ABを挟んで反対の位置に点C,Dを、∠CAB = 30°, ∠DAB = 15°となるようにとると、AC=6となった。線分ABとCDの交点をEとしたとき、以下の値を求める。 (1) CDの長さ、CEの長さ (2) cos75°の値 (3) △CDBの面積

1. 問題の内容

線分ABを直径とする円周上に、線分ABを挟んで反対の位置に点C,Dを、∠CAB = 30°, ∠DAB = 15°となるようにとると、AC=6となった。線分ABとCDの交点をEとしたとき、以下の値を求める。

(1) CDの長さ、CEの長さ

(2) cos75°の値

(3) △CDBの面積

2. 解き方の手順

(1) CDの長さについて:

まず、∠ACB = 90°（円周角の定理）なので、△ABCにおいて、∠ABC = 180° - 90° - 30° = 60°。

同様に、∠ADB = 90°なので、△ABDにおいて、∠ABD = 180° - 90° - 15° = 75°。

次に、∠CAD = ∠CAB - ∠DAB = 30° - 15° = 15°。

∠CDB = ∠CAB = 30° （円周角の定理）

∠BCD = ∠BAD = 15° （円周角の定理）

よって、△ACDにおいて、∠ACD = 15°。

したがって、CDの長さは、$CD = 2 \cdot AC \cdot \sin(\frac{\angle CAD}{2})$

$AD = AC = 6$ なので、

$\angle ACD=\angle ADC = (180-15)/2=82.5$　これは矛盾.

$\angle CBD= \angle CAD=15$, $\angle BCD=15$ なので，$CD=BD$.

$AC=6, AB=AC/\cos30 = 6/(\sqrt{3}/2)= 4\sqrt{3}$

$AD=AB\cos15=4\sqrt{3}\cos15$

$cos(15) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$AD=4\sqrt{3}(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}) = \sqrt{18}+\sqrt{6} = 3\sqrt{2}+\sqrt{6}$

$CD = 6\sqrt{2}$

CEの長さについて:

$\angle AEC = \angle DEB$ (対頂角)。

$\angle ECA = \angle ACD = 15^{\circ}$

$\angle EAD= 15^{\circ}$

よって、△ACEは二等辺三角形であり、$AE = CE$。

$AE = AB - BE$

$\angle ABE = 75^{\circ}$, $\angle BDE = 30^{\circ}$

$\angle AED = 180 - 30 - 75 = 75$

よって, $AE=AD$

$CE = AD = \sqrt{6}(1+\sqrt{3}) \quad$

(2) cos75°の値について:

cos75° = cos(45° + 30°) = cos45°cos30° - sin45°sin30° = $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$。

(3) △CDBの面積について:

△CDBの面積 = $\frac{1}{2} \cdot CD \cdot BD \cdot \sin(\angle CDB) = \frac{1}{2} \cdot (6\sqrt{2})^2 \cdot \sin(30°) = \frac{1}{2} \cdot 72 \cdot \frac{1}{2} = 18$

3. 最終的な答え

(1) CD = $2\sqrt{6}$, CE = $3\sqrt{6}+\sqrt{18}$

(2) cos 75° = $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(3) △CDBの面積は 18

(1) CD = $6\sqrt{2}$、CE = $\sqrt{18}+\sqrt{6}$

(2) △ACEに注目すると、cos 75°= $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$である。

(3) △CDBの面積は18である。

(1) CD = $6\sqrt{2}$, CE = (3+1)$\sqrt{2}$

(2) cos 75°= $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(3) △CDBの面積は 18

(1) CD = $6\sqrt{2}$ , CE = (3+$\sqrt{3})\sqrt{2}$

(2) △ACEに注目すると、cos 75°= $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$である。

(3) △CDBの面積は 18である。