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関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 45x + 75$ の $-4 \le x \le 6$ における最大値と最小値を求めます。

解析学最大値最小値微分関数の増減
2025/7/29

1. 問題の内容

関数 f(x)=x3−3x2−45x+75f(x) = x^3 - 3x^2 - 45x + 75 の −4≤x≤6-4 \le x \le 6 における最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、導関数 f′(x)f'(x) を計算します。
f′(x)=3x2−6x−45f'(x) = 3x^2 - 6x - 45
次に、f′(x)=0f'(x) = 0 となる xx を求めます。
3x2−6x−45=03x^2 - 6x - 45 = 0
x2−2x−15=0x^2 - 2x - 15 = 0
(x−5)(x+3)=0(x - 5)(x + 3) = 0
したがって、x=5x = 5 と x=−3x = -3 が極値を取る候補です。
これらの値は区間 [−4,6][-4, 6] に含まれています。
区間の端点 x=−4x = -4 と x=6x = 6 における f(x)f(x) の値を計算します。
また、x=5x = 5 と x=−3x = -3 における f(x)f(x) の値も計算します。
f(−4)=(−4)3−3(−4)2−45(−4)+75=−64−48+180+75=143f(-4) = (-4)^3 - 3(-4)^2 - 45(-4) + 75 = -64 - 48 + 180 + 75 = 143
f(−3)=(−3)3−3(−3)2−45(−3)+75=−27−27+135+75=156f(-3) = (-3)^3 - 3(-3)^2 - 45(-3) + 75 = -27 - 27 + 135 + 75 = 156
f(5)=(5)3−3(5)2−45(5)+75=125−75−225+75=−100f(5) = (5)^3 - 3(5)^2 - 45(5) + 75 = 125 - 75 - 225 + 75 = -100
f(6)=(6)3−3(6)2−45(6)+75=216−108−270+75=−87f(6) = (6)^3 - 3(6)^2 - 45(6) + 75 = 216 - 108 - 270 + 75 = -87
これらの値の中で最大なものが最大値、最小なものが最小値です。

3. 最終的な答え

最大値: 156
最小値: -100

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