$t = \sqrt{x+1}$ と置換します。すると、 $t^2 = x+1$ となり、$x = t^2 - 1$ です。 また、$dx = 2t \, dt$ となります。

## 定積分の問題 (262(3) と 263(1) )

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1. 問題の内容

2 つの定積分を計算します。

(1) $\int_{0}^{3} x \sqrt{x+1} \, dx$

(2) $\int_{0}^{3} \sqrt{9-x^2} \, dx$

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2. 解き方の手順

#### (1) $\int_{0}^{3} x \sqrt{x+1} \, dx$

1. **置換:**

$t = \sqrt{x+1}$ と置換します。すると、 $t^2 = x+1$ となり、$x = t^2 - 1$ です。

また、$dx = 2t \, dt$ となります。

2. **積分の範囲の変更:**

$x=0$ のとき、$t = \sqrt{0+1} = 1$

$x=3$ のとき、$t = \sqrt{3+1} = 2$

したがって、積分範囲は $1$ から $2$ に変わります。

3. **置換後の積分:**

$\int_{0}^{3} x \sqrt{x+1} \, dx = \int_{1}^{2} (t^2 - 1) \cdot t \cdot 2t \, dt = 2\int_{1}^{2} (t^4 - t^2) \, dt$

4. **積分を実行:**

$2\int_{1}^{2} (t^4 - t^2) \, dt = 2\left[ \frac{t^5}{5} - \frac{t^3}{3} \right]_{1}^{2} = 2 \left[ \left( \frac{2^5}{5} - \frac{2^3}{3} \right) - \left( \frac{1^5}{5} - \frac{1^3}{3} \right) \right]$

$= 2 \left[ \left( \frac{32}{5} - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{3} \right) \right] = 2 \left[ \frac{31}{5} - \frac{7}{3} \right] = 2 \left[ \frac{93 - 35}{15} \right] = 2 \cdot \frac{58}{15} = \frac{116}{15}$

#### (2) $\int_{0}^{3} \sqrt{9-x^2} \, dx$

1. **三角関数による置換:**

$x = 3\sin\theta$ と置換します。 すると、$dx = 3\cos\theta \, d\theta$ となります。

2. **置換後の積分:**

$\sqrt{9 - x^2} = \sqrt{9 - 9\sin^2\theta} = \sqrt{9(1-\sin^2\theta)} = \sqrt{9\cos^2\theta} = 3\cos\theta$

$\int \sqrt{9 - x^2} \, dx = \int 3\cos\theta \cdot 3\cos\theta \, d\theta = 9\int \cos^2\theta \, d\theta$

3. **積分の範囲の変更:**

$x=0$ のとき、$3\sin\theta = 0$ より、$\sin\theta = 0$ なので、$\theta = 0$

$x=3$ のとき、$3\sin\theta = 3$ より、$\sin\theta = 1$ なので、$\theta = \frac{\pi}{2}$

したがって、積分範囲は $0$ から $\frac{\pi}{2}$ に変わります。

4. **積分を実行:**

$9\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta \, d\theta = 9\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \, d\theta = \frac{9}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos(2\theta)) \, d\theta$

$= \frac{9}{2}\left[ \theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{9}{2}\left[ \left( \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(\pi) \right) - \left( 0 + \frac{1}{2}\sin(0) \right) \right]$

$= \frac{9}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{4}$

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3. 最終的な答え

(1) $\frac{116}{15}$

(2) $\frac{9\pi}{4}$