以下の3つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x\to 1} (x^3 + x)$ (2) $\lim_{x\to 2} \frac{2x^3 + x}{x - 1}$ (3) $\lim_{x\to -1} \frac{x^2 - 3x}{x^2 - 2}$

1. 問題の内容

以下の3つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x\to 1} (x^3 + x)$

(2) $\lim_{x\to 2} \frac{2x^3 + x}{x - 1}$

(3) $\lim_{x\to -1} \frac{x^2 - 3x}{x^2 - 2}$

2. 解き方の手順

(1)

$x$ を $1$ に近づけたときの $x^3 + x$ の極限を求めます。関数 $x^3 + x$ は連続なので、直接 $x = 1$ を代入すればよいです。

(2)

$x$ を $2$ に近づけたときの $\frac{2x^3 + x}{x - 1}$ の極限を求めます。関数 $\frac{2x^3 + x}{x - 1}$ は $x=2$ で定義されているので、直接 $x = 2$ を代入すればよいです。

(3)

$x$ を $-1$ に近づけたときの $\frac{x^2 - 3x}{x^2 - 2}$ の極限を求めます。関数 $\frac{x^2 - 3x}{x^2 - 2}$ は $x=-1$ で定義されているので、直接 $x = -1$ を代入すればよいです。

3. 最終的な答え

(1)

$\lim_{x\to 1} (x^3 + x) = 1^3 + 1 = 1 + 1 = 2$

(2)

$\lim_{x\to 2} \frac{2x^3 + x}{x - 1} = \frac{2(2^3) + 2}{2 - 1} = \frac{2(8) + 2}{1} = \frac{16 + 2}{1} = 18$

(3)

$\lim_{x\to -1} \frac{x^2 - 3x}{x^2 - 2} = \frac{(-1)^2 - 3(-1)}{(-1)^2 - 2} = \frac{1 + 3}{1 - 2} = \frac{4}{-1} = -4$

したがって、答えは次のようになります。

(1) 2

(2) 18

(3) -4