次の定積分を求めよ。 (1) $\int_0^6 \sqrt{|x-3|} dx$ (2) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{2\pi} |\sin x| dx$

1. 問題の内容

次の定積分を求めよ。

(1) $\int_0^6 \sqrt{|x-3|} dx$

(2) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{2\pi} |\sin x| dx$

2. 解き方の手順

(1) 絶対値を外して積分を計算する。

$x-3 \ge 0$ すなわち $x \ge 3$ のとき $|x-3| = x-3$

$x-3 < 0$ すなわち $x < 3$ のとき $|x-3| = -(x-3) = 3-x$

よって、積分範囲を分けて計算する。

$\int_0^6 \sqrt{|x-3|} dx = \int_0^3 \sqrt{3-x} dx + \int_3^6 \sqrt{x-3} dx$

$t = 3-x$ とおくと $dt = -dx$. $x:0 \to 3$ のとき $t:3 \to 0$

$\int_0^3 \sqrt{3-x} dx = \int_3^0 \sqrt{t} (-dt) = \int_0^3 \sqrt{t} dt = \int_0^3 t^{\frac{1}{2}} dt = \left[\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}\right]_0^3 = \frac{2}{3} (3^{\frac{3}{2}} - 0) = \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

$u = x-3$ とおくと $du = dx$. $x:3 \to 6$ のとき $u:0 \to 3$

$\int_3^6 \sqrt{x-3} dx = \int_0^3 \sqrt{u} du = \int_0^3 u^{\frac{1}{2}} du = \left[\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}\right]_0^3 = \frac{2}{3} (3^{\frac{3}{2}} - 0) = \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

$\int_0^6 \sqrt{|x-3|} dx = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

(2) 絶対値を外して積分を計算する。

$\frac{\pi}{2} \le x \le \pi$ のとき $\sin x \ge 0$ なので $|\sin x| = \sin x$

$\pi \le x \le 2\pi$ のとき $\sin x \le 0$ なので $|\sin x| = -\sin x$

よって、積分範囲を分けて計算する。

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{2\pi} |\sin x| dx = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x dx + \int_{\pi}^{2\pi} (-\sin x) dx$

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x dx = [-\cos x]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = -\cos \pi - (-\cos \frac{\pi}{2}) = -(-1) - (-0) = 1$

$\int_{\pi}^{2\pi} (-\sin x) dx = [\cos x]_{\pi}^{2\pi} = \cos 2\pi - \cos \pi = 1 - (-1) = 2$

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{2\pi} |\sin x| dx = 1 + 2 = 3$

3. 最終的な答え

(1) $4\sqrt{3}$

(2) $3$