$a > 0$ かつ $a \neq 1$ を満たす定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y = (x^2 + 1)^{a^x}$ の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

$a > 0$ かつ $a \neq 1$ を満たす定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y = (x^2 + 1)^{a^x}$ の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = (x^2 + 1)^{a^x}$ の両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln (x^2 + 1)^{a^x} = a^x \ln (x^2 + 1)$

次に、両辺を $x$ で微分します。左辺は合成関数の微分により $\frac{y'}{y}$ となります。右辺は積の微分を使います。

$\frac{y'}{y} = (a^x)' \ln(x^2 + 1) + a^x (\ln(x^2 + 1))'$

ここで、$(a^x)' = a^x \ln a$ であり、$(\ln(x^2 + 1))' = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (x^2 + 1)' = \frac{2x}{x^2 + 1}$ です。

したがって、

$\frac{y'}{y} = a^x \ln a \ln(x^2 + 1) + a^x \cdot \frac{2x}{x^2 + 1}$

$y' = y \left[ a^x \ln a \ln(x^2 + 1) + \frac{2x a^x}{x^2 + 1} \right]$

$y$ に $y = (x^2 + 1)^{a^x}$ を代入します。

$y' = (x^2 + 1)^{a^x} \left[ a^x \ln a \ln(x^2 + 1) + \frac{2x a^x}{x^2 + 1} \right]$

$y' = a^x (x^2 + 1)^{a^x} \left[ \ln a \ln(x^2 + 1) + \frac{2x}{x^2 + 1} \right]$

3. 最終的な答え

$a^x (x^2 + 1)^{a^x} \left( \ln a \ln(x^2 + 1) + \frac{2x}{x^2 + 1} \right)$