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定積分 $\int_{2}^{4} \frac{2}{9-2x} dx$ を計算します。

解析学積分定積分置換積分対数関数
2025/7/30

1. 問題の内容

定積分 ∫2429−2xdx\int_{2}^{4} \frac{2}{9-2x} dx を計算します。

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。
u=9−2xu = 9 - 2x と置換すると、du=−2dxdu = -2dx となります。したがって、dx=−12dudx = -\frac{1}{2} du となります。
元の積分は以下のようになります。
∫29−2xdx=∫2u(−12)du=−∫1udu=−ln⁡∣u∣+C=−ln⁡∣9−2x∣+C\int \frac{2}{9-2x} dx = \int \frac{2}{u} (-\frac{1}{2}) du = -\int \frac{1}{u} du = -\ln|u| + C = -\ln|9-2x| + C
次に、定積分を計算します。
∫2429−2xdx=[−ln⁡∣9−2x∣]24=(−ln⁡∣9−2(4)∣)−(−ln⁡∣9−2(2)∣)=−ln⁡∣1∣+ln⁡∣5∣=0+ln⁡5=ln⁡5\int_{2}^{4} \frac{2}{9-2x} dx = [-\ln|9-2x|]_{2}^{4} = (-\ln|9-2(4)|) - (-\ln|9-2(2)|) = -\ln|1| + \ln|5| = 0 + \ln 5 = \ln 5
したがって、定積分の答えは ln⁡5\ln 5 です。

3. 最終的な答え

ln⁡5\ln 5

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