実数 $a$ に対して、定積分 $f(a) = \int_{0}^{1} e^x |x-a| dx$ を考える。 (1) 定積分 $\int_{0}^{1} e^x (x-a) dx$ を求めよ。 (2) $f(a)$ を求めよ。 (3) $f(a)$ を最小にする $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $a$ に対して、定積分 $f(a) = \int_{0}^{1} e^x |x-a| dx$ を考える。

(1) 定積分 $\int_{0}^{1} e^x (x-a) dx$ を求めよ。

(2) $f(a)$ を求めよ。

(3) $f(a)$ を最小にする $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\int_{0}^{1} e^x (x-a) dx$ を部分積分を用いて計算する。$\int u dv = uv - \int v du$ の公式を用いる。$u = x-a$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = dx$, $v = e^x$ となる。

$\int_{0}^{1} e^x (x-a) dx = [(x-a)e^x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^x dx$

$= (1-a)e^1 - (0-a)e^0 - [e^x]_{0}^{1}$

$= (1-a)e + a - (e - 1)$

$= e - ae + a - e + 1$

$= 1 - a(e-1)$

(2) 次に、$f(a) = \int_{0}^{1} e^x |x-a| dx$ を求める。絶対値を外すために、$a$ の値によって積分区間を分割する。

(i) $a \le 0$ のとき、$|x-a| = x-a$ であるため、

$f(a) = \int_{0}^{1} e^x (x-a) dx = 1 - a(e-1)$

(ii) $0 < a < 1$ のとき、

$f(a) = \int_{0}^{a} e^x (a-x) dx + \int_{a}^{1} e^x (x-a) dx$

$\int_{0}^{a} e^x (a-x) dx = \int_{0}^{a} (a-x) e^x dx = [(a-x)e^x]_{0}^{a} - \int_{0}^{a} (-1) e^x dx = 0 - (a-0)e^0 + [e^x]_{0}^{a} = -a + e^a - 1$

$\int_{a}^{1} e^x (x-a) dx = [(x-a)e^x]_{a}^{1} - \int_{a}^{1} e^x dx = (1-a)e^1 - 0 - [e^x]_{a}^{1} = (1-a)e - (e - e^a) = e - ae - e + e^a = e^a - ae$

$f(a) = -a + e^a - 1 + e^a - ae = 2e^a - a(e+1) - 1$

(iii) $a \ge 1$ のとき、$|x-a| = a-x$ であるため、

$f(a) = \int_{0}^{1} e^x (a-x) dx = \int_{0}^{1} (a-x) e^x dx = [(a-x)e^x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} (-1)e^x dx = (a-1)e - ae^0 + [e^x]_{0}^{1} = (a-1)e - a + e - 1 = ae - e - a + e - 1 = a(e-1) - 1$

まとめると、

$f(a) =

\begin{cases}

1 - a(e-1) & (a \le 0) \\

2e^a - a(e+1) - 1 & (0 < a < 1) \\

a(e-1) - 1 & (a \ge 1)

\end{cases}

$$

(3) 最後に、$f(a)$ を最小にする $a$ の値を求める。

$f'(a) =

\begin{cases}

-(e-1) & (a < 0) \\

2e^a - (e+1) & (0 < a < 1) \\

e-1 & (a > 1)

\end{cases}

$$

$a<0$では$f(a)$は減少関数、$a>1$では$f(a)$は増加関数である。

$0<a<1$ で$f'(a) = 0$となる$a$を求める。

$2e^a - (e+1) = 0$

$e^a = \frac{e+1}{2}$

$a = \ln(\frac{e+1}{2}) \approx \ln(\frac{2.718+1}{2}) = \ln(1.859) \approx 0.62$

$0 < a < 1$ を満たすため、$a = \ln(\frac{e+1}{2})$ は極値を与える。

$f''(a) = 2e^a > 0$ であるため、これは極小値である。

したがって、$a = \ln(\frac{e+1}{2})$ で $f(a)$ は最小となる。

3. 最終的な答え

(1) $\int_{0}^{1} e^x (x-a) dx = 1 - a(e-1)$

(2) $f(a) =

\begin{cases}

1 - a(e-1) & (a \le 0) \\

2e^a - a(e+1) - 1 & (0 < a < 1) \\

a(e-1) - 1 & (a \ge 1)

\end{cases}

$$

(3) $a = \ln(\frac{e+1}{2})$