関数 $y = (x^2 + 1)5^{x^3}$ の導関数を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = (x^2 + 1)5^{x^3}$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

この関数は、積の形になっているので、積の微分公式を使います。積の微分公式は $(uv)' = u'v + uv'$ です。

ここで、$u = x^2 + 1$、$v = 5^{x^3}$ と置きます。

まず、$u$ の微分を計算します。

$u' = (x^2 + 1)' = 2x$

次に、$v$ の微分を計算します。$v = 5^{x^3}$ は合成関数なので、合成関数の微分公式を使います。合成関数の微分公式は $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$ です。

$f(t) = 5^t$ とすると、$f'(t) = 5^t \ln 5$ です。

$g(x) = x^3$ とすると、$g'(x) = 3x^2$ です。

したがって、$v' = (5^{x^3})' = 5^{x^3} \ln 5 \cdot 3x^2 = 3x^2 (\ln 5) 5^{x^3}$

積の微分公式に代入します。

$y' = (x^2 + 1)' 5^{x^3} + (x^2 + 1) (5^{x^3})' = 2x \cdot 5^{x^3} + (x^2 + 1) \cdot 3x^2 (\ln 5) 5^{x^3} = 2x \cdot 5^{x^3} + 3x^2 (x^2 + 1) (\ln 5) 5^{x^3}$

$5^{x^3}$ でくくります。

$y' = 5^{x^3} (2x + 3x^2 (x^2 + 1) \ln 5)$

$y' = 5^{x^3} (2x + (3x^4 + 3x^2) \ln 5)$

$y' = x 5^{x^3} (2 + (3x^3 + 3x) x \ln 5)$

$y' = x 5^{x^3} (2 + 3x (x^2 + 1) \ln 5)$

$y' = 5^{x^3} [2x + 3x^2 (x^2 + 1) \ln 5]$

$y' = x 5^{x^3} [2 + 3x(x^2+1) \ln 5]$

3. 最終的な答え

$y' = 5^{x^3} [2x + 3x^2(x^2+1) \ln 5]$

または

$y' = x 5^{x^3} [2 + 3x(x^2+1) \ln 5]$