$y = \frac{1}{e^x + e^{-x}}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

$y = \frac{1}{e^x + e^{-x}}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

$y = \frac{1}{e^x + e^{-x}}$ を微分します。

まず、$y$ を $y = (e^x + e^{-x})^{-1}$ と書き換えます。

次に、合成関数の微分法（チェーンルール）を適用します。

チェーンルールは、関数 $y = f(u)$ と $u = g(x)$ があるとき、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ と表されます。

今回の問題では、$u = e^x + e^{-x}$ とすると、$y = u^{-1}$ となります。

したがって、$\frac{dy}{du} = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$ となります。

また、$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(e^x + e^{-x}) = e^x - e^{-x}$ となります。

したがって、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{1}{u^2} \cdot (e^x - e^{-x}) = -\frac{e^x - e^{-x}}{(e^x + e^{-x})^2}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{e^x - e^{-x}}{(e^x + e^{-x})^2}$